「解と係数の関係」の覚え方
むか~し先輩が教えてくれた…
「解と係数の関係」のちょっと面白い覚え方を君にも教えてあげよう!
覚え方:「バカ、バカだ」
2次方程式の解と係数の関係
ax^2+bx+c=0
の2解を \alpha\:,\:\beta とすると、
「基本対称式」を知らない人は、「解の1次の和と2次の和を必ずこの順で書く」って覚えて!2次の和の取り方は1通り
「バ(ba)カ(ca)」、濁点ついたらマイナスです!
以上で全文の完成~
2次方程式の解と係数の関係
ax^2+bx+c=0 の2解を \alpha\:,\:\beta とすると、
\left\{\begin{array}{1}\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\\\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\end{array}\right.
3次方程式の解と係数の関係
2次のときと全く同じ流れで作れます
ax^3+bx^2+cx+d=0
の3解を \alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma とすると、
やはり「基本対称式」を知らない人は、「解の1次の和と2次の和と3次の和を必ずこの順で書く」って覚えて!3次の和の取り方は1通り
「バ(ba)カ(ca)だ(da)」、やはり濁点ついたらマイナスです!
以上で全文の完成!
3次方程式の解と係数の関係
ax^3+bx^2+cx+d=0 の3解を \alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma とすると、
\left\{\begin{array}{1}\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}\\\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{c}{a}\\\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{d}{a}\end{array}\right.
丸暗記って必要?
使用頻度が高いから丸暗記が必須です。
僕が2023の解答速報を書いた中だけで言っても、
で使ってるので…とんでもなく使用頻度が高い…さらに…
逆に使うことも多いから、全体の暗記も必須
公式なんて式の形だけ覚えりゃいいっしょ~
って気持ちは分からなくもないんだけど(笑)
「ax^3+bx^2+cx+d=0 の3解を \alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma とすると、」ってゆー序文の暗記も必要です。次の問題を考えてみましょう!
問題
次の連立方程式を解け。ただし、x≦y≦z とする。
\left\{\begin{array}{1}x+y+z=9\:\:\cdots①\\x^2+y^2+z^2=35\:\:\cdots②\\xyz=15\:\:\cdots③\end{array}\right.
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解説
連立方程式を解くときの基本は「文字消去」です。
でもこの問題で①から z=9-x-y で文字消去してみたい人がいたらやってみ。式が複雑すぎて詰むから(笑)
「対称式(どの2文字を入れ替えても変わらない整式)」は必ず基本対称式で表せるってゆー性質があるので、①と②から2次の和を求めます。
\begin{split}②\:\:&\Leftrightarrow\:\:(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=35\\&\Leftrightarrow\:\:9^2-2(xy+yz+zx)=35\:\:\left(\:∵\:\:①\:\right)\\&∴\:\:xy+yz+zx=23\end{split}
「必ずこの順で」って言った通り。x\:,\:y\:,\:z の基本対称式を「1次の和と2次の和と3次の和の順」で書き並べましょう!
\left\{\begin{array}{1}x+y+z=9\\xy+yz+zx=23\\xyz=15\end{array}\right.
「3次方程式の解と係数の関係」の x\:,\:\alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma を t\:,\:x\:,\:y\:,\:z として逆に利用することで、1変数の方程式を作れます!因みに逆に利用する場合は a=1 にするので、「必ずこの順で」を守ってれば、t^3 を書いた後に「バカだ」で上から順に濁点ついたらマイナスで係数を埋めていくだけって機械作業にできます。
解と係数の関係の逆利用により、x\:,\:y\:,\:z は、
t^3\:-9\:t^2\:+23\:t\:-15\:=0
の3解である。
後は「1解見つける」→「組み立て除法で因数分解」で3次方程式を解くだけ~
\begin{split}&t^3-9t^2+23t-15=0\\\Leftrightarrow\:\:&(t-1)(t^2-8t+15)=0\\\Leftrightarrow\:\:&(t-1)(t-3)(t-5)=0\\&∴\:\:t=1\:,\:3\:,\:5\end{split}
x≦y≦z より、 (x\:,\:y\:,\:z)=(1\:,\:3\:,\:5) (答)
このように逆に使うことも多いし、使用頻度も高いので、「解と係数の関係」は序文まで丸暗記しておく必要があるわけですが…
証明も大事
「因数定理」で証明できることも理解しておく必要があります!
2次方程式
ax^2+bx+c=0 の2解を \alpha\:,\:\beta とすると、ax^2+bx+c は (x-\alpha)(x-\beta) を因数に持つので、恒等式
a\:x^2+bx+c=\:a\:(x-\alpha)(x-\beta)
が成立する。
「恒等式処理では最高次の係数を合わせる」ことが重要ってのは覚えといて。後は右辺を展開して係数比較すれば覚えた形が出てくるから、自分で確認してみて~
3次方程式
2次のときと同様
ax^3+bx^2+cx+d=0 の3解を \alpha\:,\:\beta\:,\:\gamma とすると、ax^3+bx^2+cx+d は (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) を因数に持つので、恒等式
a\:x^3+bx^2+cx+d=\:a\:\small{(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}
が成立する。
やはり後は右辺を展開して係数比較すれば覚えた形が出てくるわけですが…何でこんなのおさえとかないといけないかってゆーと…証明が出題されることもあるし…こんなの↓も出題されるから(笑)
2022東京医科大第4問
「解と係数の関係」を暗記するのは3次方程式までだから…
この問題は「解と係数の関係」の証明を意識して、
\scriptsize{x^4-8x^3+cx^2+4x-6=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)}
の右辺を展開して頑張るしかありません(笑)因みに「\delta」は「デルタ」ってギリシャ文字で、複素数平面の問題とかでもたまに登場します。
まとめ
「解と係数の関係の覚え方」は、「バカ、バカだ」で、濁点ついたらマイナス!
極力丁寧に説明してきたつもりだけど…これでもまだ覚えられなかったらめぐろ塾に来なさい↓(笑)
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頂いたお問い合わせへのリアクション以外で、こちらからご連絡することは一切ありません。安心してお問い合わせください。
お問い合わせはお気軽にどうぞ!ミスを見つけた場合のクレームも頂けると助かります(笑)
君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます!