∑k^4（シグマkの4乗）が出たらどうする？

どの高校数学の教科書でもどの参考書でもどの授業でも \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3\) までは公式として暗記させるはずです。

結論：\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3\) までの公式の証明法をおさえていれば問題ない

君たちが日常的に使っているであろう、 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3\) までの公式の証明法をおさえていれば、\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4\) が出題されても大丈夫です。

因みにこの証明はどの教科書にも載っていますが…

前提となる知識

因みにシグマの中に \(f(k+1)-f(k)\) を作れれば、具体的に和を書き並べると途中が消えるってだけ↓なんですが…

大学受験では一問で複数回使うこともあるんで、公式化せずにいちいち消してる人は凄い不利になります。

出題例

ってわけでいくつか出題例を。特に医学部で良く目にします。

2014東京医科大

2017獨協医科大

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3\) までを証明してみよう！

君たちが暗記しているであろう↓

を証明していきましょう！

(Ⅰ)　\(\displaystyle\sum_{k=1}^n c=nc\)　の証明

当たり前です。具体的に和を書き並べてみるだけ↓

(Ⅱ)　\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\)　の証明

証明したい \(k^●\) の次数を１つ上げて \(f(k)\) とし、
\(f(k+1)-f(k)\) を作る！

ことで証明します。

(Ⅲ)　\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)　の証明

\((k+1)^3-k^3\:\)\(=3k^2+3k+1\)

\(k^2=\displaystyle\frac{(k+1)^3-k^3}{3}-k-\displaystyle\frac{1}{3}\)

(Ⅳ)　\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3=\displaystyle\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\)　の証明

\((k+1)^4-k^4\:\)\(=4k^3+6k^2+4k+1\)

\(k^3=\displaystyle\frac{(k+1)^4-k^4}{4}-\displaystyle\frac{3}{2}k^2-k-\displaystyle\frac{1}{4}\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3\) までの証明のまとめ

結局これらの証明で大事なのは、

証明したい \(k^●\) の次数を１つ上げて \(f(k)\) とし、
\(f(k+1)-f(k)\) を作る！
↓
前の公式から、段階的に証明していける！

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4\) が出ても大丈夫

\((k+1)^5-k^5\:\)\(=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1\)

\(k^4=\displaystyle\frac{(k+1)^5-k^5}{5}-2k^3-2k^2-k-\displaystyle\frac{1}{5}\)

まとめ

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3\) までの公式の証明法をおさえていれば、\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4\) が出題されても大丈夫です。

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！