「三角関数の公式」はどれを覚えるべき？

って人は多いでしょう。

どれは丸暗記し、どれは導出すべきなのか
が明文化されてないから！

教える人によっても「覚えろ」・「導出しろ」の基準が全然違うんですよね…

2023共通テスト第１問がそうしているように、積和・和積公式は暗記せずに導くのが常識とされています。

とゆ～わけでこの記事では…

大学受験に向けて一般の生徒が、三角関数の公式のどれを丸暗記し、どれは導出すべきなのかを、理由付きで明文化して差し上げますm(_ _)m

三角関数の定義と相互関係

三角関数の定義（絶対に暗記！）

1999東大で「これを述べる」→「加法定理の証明」が出題されて話題になりました。

• \(x\) 座標が \(\cos\theta\) で \(y\) 座標が \(\sin\theta\)
• 傾きが \(\tan\theta\)

ってだけです。これさえしっかり暗記しておけば…

相互関係（覚えないけど覚えちゃう）

\(\textrm{P}\;(\cos\theta\;,\;\sin\theta)\) は単位円 \(x^2+y^2=1\) 上の点だから、代入して \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) が成立、つまり①の成立は当たり前。

(傾き)＝(\(y\) の変化量)／(\(x\) の変化量)　だから、\(x\) 座標が \(\cos\theta\) で \(y\) 座標が \(\sin\theta\) を意識すれば、\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) 、つまり②は当たり前。

③は、①と②を用いることで、

\[\begin{split}1+\tan^2\theta&=1+\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\displaystyle\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\\&=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\end{split}\]

と導けますが…

\(③\;\:1+\tan^2\theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) は…
理系生徒	\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) といったアークタンジェント系の積分、\(I_n=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^nxdx\) で \(I_n+I_{n+2}=\displaystyle\frac{1}{n+1}\) という漸化式を導くときに使うので、絶対に丸暗記！
文系生徒	上位校で \(\sin\theta\;,\;\cos\theta\) を \(\tan\displaystyle\frac{\theta}{2}=t\) で表すときに使うくらいだから、暗記しなくて良し！

となります。

負角・補角とその関連公式　絶対に暗記しちゃダメ！

負角・補角公式

関連公式

負角・補角公式と関連して、公式として紹介している教科書も多いものを紹介します。

余角公式　言葉で丸暗記！

直前の内容と同様にして、余角公式↓が導けます。

\(\displaystyle\frac{\pi}{2}=90^{\circ}\) から元の角度を引けば、
sinとcosは変え放題！

ということになり、和積公式を使うための下準備等で用いることになるので、式ではなく↑の言葉を丸暗記してください！

加法定理　絶対に丸暗記！

証明は1999東大が出しちゃってるので、もう出ないと思うから割愛しますm(_ _)m

↑の語呂合わせで、

• \(\alpha\) と \(\beta\) は順番通り書く！
• 角度がマイナスの場合、プラスとマイナスを全て入れ替える！

と丸暗記しましょう！例えば、

\[\tan(\alpha-\beta)=\displaystyle\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\]

とするだけです。

「しんだ校長、校長しんだ」・「校長校長、しんだしんだ」

とか、

「しねころす、ころすしね」・「ころすころす、しねしね」

なんかも有名です(笑)どれでもお好きなのでどうぞ。

２倍角の公式　絶対に丸暗記！

↑は絶対に全て丸暗記です！例えば、

\(5\sin x+\cos2x<3\)
↓
\(\cos2x=1-2\sin^2x\) 使えば \(\sin x\) の２次不等式だ～

半角公式　絶対に絶対に絶対に丸暗記！

三角関数の、

左辺は２次式　→　右辺は1次式
と次数を下げられるので、最重要の公式！

です。３式目は２倍角の公式から瞬時に導ける（とゆ～かほぼ同じ）ので、丸暗記するまでもないですが、上２式は丸暗記です！

って思ってる人は甘すぎる！

半角公式を丸暗記すべき理由
文理共通範囲	超頻出の　〇\(\sin^2x+\)△\(\sin x\cos x+\)▢\(\cos^2x\)　の形の方程式・不等式、最大・最小では半角公式３つを全て使うから！
理系専用範囲	超頻出の　\(\displaystyle\int\sin^{偶数}xdx\)　や　\(\displaystyle\int\cos^{偶数}xdx\)　の計算では、半角公式を複数回使うことも多い。一問でこれらを何回か計算することもあるので、５回以上使うケースもめずらしくない！

こんな超頻出問題１問で何回も使うものを丸暗記してないようでは、受験ではお話になりません！

３倍角の公式　丸暗記が、できる人の普通

↑のような有名な語呂合わせもあるので、偏差値70超えてる人はフツー暗記していると思います。

2023京大理系数学６(1)は３倍角の公式を暗記してれば瞬時に片付きますし…cos36°の導出でも使う↓

ので、丸暗記を推奨します。

和積・積和公式　絶対に覚えちゃダメ！加法定理から導け！

導出法

同じ種類の加法定理を書き並べてみましょう。ここではcosの加法定理を使います。

\[\begin{split}\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\end{split}\]

\[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta\]

三角関数の和と積の式が得られます。これを、

• 左→右、つまり和→積に使うのを「和積公式」
• 右→左、つまり積→和に使うのを「積和公式」

と呼ぶだけです。

「和積公式」で使うときは、\(\left\{\begin{array}{1}\alpha+\beta=A\\\alpha-\beta=B\end{array}\right.\) とおく
↓
足し引きで、\(\left\{\begin{array}{1}2\alpha=A+B\\2\beta=A-B\end{array}\right.\)
↓
\(\alpha=\displaystyle\frac{A+B}{2}\;,\;\beta=\displaystyle\frac{A-B}{2}\) となる

ことだけは暗記！導出のスピードが格段に上がります。以上でcosの加法定理を足したバージョンの和積公式の出来上がり↓

\[\cos A+\cos B=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\]

和積・積和公式

積和の①と②は「sin〇cos△を和・差に変換したい」ケースで用いることになり、どっち使っても一緒です。

８つ丸暗記できる天才さんはどうぞ暗記してください。でも、凡人ならば、これらは加法定理から導きましょう！

和積公式の使用条件

「積和公式」に使用条件はありません。

「積和公式」を導くとき
sin〇cos△を和・差に変換したい	sinの加法定理を足す
sin〇sin△を和・差に変換したい	cosの加法定理を引く
cos〇cos△を和・差に変換したい	cosの加法定理を足す

\[\begin{split}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\end{split}\]

違う種類の加法定理の右辺は似てないから、
足したり引いたりしても意味ない！
↓
和積公式は同種じゃないと使えない！

という使用条件があります。

これを解決してくれるのが、余角公式

です。

和積・積和公式のまとめ

因みに使用ケースとしては…

和積・積和公式の代表的な使用ケース
文理共通範囲	方程式　sin〇±sin△±…＝0　や　cos〇±cos△±…＝0　を解くときに和積公式を利用。
理系専用範囲	sinとcosの１次式の和・差の積分で積和公式を利用。

となりますが…そこまで頻出とは言えないので…

合成公式　sinへの合成だけは丸暗記！

sinへの合成（手順を丸暗記！）

問題の形	解法
\(a\sin〇±b\cos△\) の形の方程式・不等式、最大・最小	基本、sinへの合成
〇\(\sin^2x+\)△\(\sin x\cos x+\)▢\(\cos^2x\)　の形の方程式・不等式、最大・最小	半角公式を使って、sinへの合成
sinとcosの対称式	\(\sin x+\cos x=t\)　とおいて、最終的に、または \(t\) の変域を調べるのに、sinへの合成

で使うので手順を丸暗記し、作業化しておく必要があります！

合成の意味

2021共通テスト等で、sinへの合成の意味を理解した上でのcosへの合成が問われました。

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
↓　\(r\) 倍し、逆に書く
\(r\cos\beta\;\)\(\sin\alpha+\)\(r\sin\beta\;\)\(\cos\alpha=\;\)\(r\;\)\(\sin(\alpha\)\(+\beta\)\()\)
↓

cosへの合成

\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)
↓　\(r\) 倍し、逆に書く
\(r\sin\beta\;\)\(\sin\alpha+\)\(r\cos\beta\;\)\(\cos\alpha=\;\)\(r\;\)\(\cos(\alpha\)\(-\beta\)\()\)

まとめ

定義・余角公式・加法定理・２倍角の公式・半角公式・３倍角の公式・sinへの合成

だけです。

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！