「微分の定義式」って覚えるの？

微分の目的から「導関数の定義式」を導いてみよう

教科書では「微分係数」から説明されますが、ここでは分かりやすさ重視で「導関数」からいきましょう！

微分の目的

微分の目的は、接線の傾きを求めること！

この目的から、定義式は自分で導出できるようにしておくことが大切です。

「導関数の定義式」の導出

直線の傾きを決めるためには２点が必要ですが、今は \((x\:,\:f(x))\) という１点しか分かっていません。な～んも関係ないとこにもう１点をとってもしょうがないので、グラフ上の \(x\) 座標が \(h\) だけ進んだところにもう１点をとって傾きを求めることにしましょう。

この青の直線の傾きは、　\(\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)　となり、\(y=f(x)\) の \(x\) から \(x+h\) までの「平均変化率」と呼ばれます。

この青の直線の傾き＝「平均変化率」は、↑の状態では目的の赤の直線の傾き \(f'(x)\) とは全く異なりますが…

\(h\) を小さくしていけば、目的の赤の直線の傾き \(f'(x)\) に近づいていく

ことが分かります。

冒頭で言った通り、上のように

グラフ上に２点をとって、近づける

って流れで「何回も導きすぎて形まで覚えちゃう」ってのが正解です！

「導関数」と「微分係数」の違い

\(a\) になってるから混乱してる人が多いんだけど…この \(a\) は例えば \(a=7\) って具体値って意味！だから…

「微分係数の定義式（実用的バージョン）」の導出

だから「微分係数の定義式」は \(x\) を使った形でおさえておいた方が良い！これをこの記事では「実用的バージョン」と呼ぶことにします(笑)やはり、

グラフ上に２点をとって、近づける

って流れで自分で導けるようにしましょう！君らが混乱しないように、ここでは \(y=f(x)\) の \(x=7\) の微分係数 \(f'(7)\) を導きますが、\(x=3\) なら下の流れの \(7\) を \(3\) に変えるだけ～。

赤の直線の傾き \(f'(7)\) を求めるのが目的です。「導関数」ではここが \(x\) だったので \(h\) を使いましたが、グラフ上のもう１点の \(x\) 座標に \(x\) を使うことができます。

今回、この青の直線の傾き＝「平均変化率」は、　\(\displaystyle\frac{f(x)-f(7)}{x-7}\)　です。後は今回は \(h\) を使ってないことを意識すれば…この傾きは…

\(x\) を \(7\) に近づければ、目的の赤の直線の傾き \(f'(7)\) に近づいていく

導けるようにしておかなきゃダメ？

導けなくてもぶっちゃけそこまで困らないけど…

「導関数の定義式」から \(f(x)=x^2\) の導関数を導くと…

\[\begin{split}f'(x)&=\displaystyle\lim_{h\to0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=\displaystyle\lim_{h\to0}\displaystyle\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\&=\displaystyle\lim_{h\to0}\displaystyle\frac{2xh+h^2}{h}\\&=\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x\end{split}\]

ってなりますが…

\(f(x)=x^2\) なら、「肩を下ろして、次数を１つ下げる」って公式があるんで、これで　\(f'(x)=\:\)\(2\:\)\(x\:\)\(^{2-1}\:\)\(=2x\)　って計算しちゃいます。従って…

微分公式の証明が出題されることもあるし…

ちょうど2023慶應理工の問題１（１）で出題されています。

これ系の問題はアウト

「微分の定義式」を「何回も導きすぎて形まで覚えちゃうのが正解」ってのは、上位校で頻出な次のような系統の問題のためです。

2019東大第５問

\[\displaystyle\lim_{x\to1}\displaystyle\frac{\sqrt{x\cos x}-\sqrt{\cos 1}}{x-1}\]

\(f(x)=\sqrt{x\cos x}\) とすると、

\(\displaystyle\lim_{x\to1}\displaystyle\frac{\sqrt{x\cos x}-\sqrt{\cos 1}}{x-1}=\:\)\(\displaystyle\lim_{x\to1}\displaystyle\frac{\sqrt{x\cos x}-\sqrt{1\cdot\cos 1}}{x-1}=f'(1)\)

ここで、　\(f'(x)=\displaystyle\frac{\cos x-x\sin x}{2\sqrt{x\cos x}}\)　であるから、

\(\displaystyle\lim_{x\to1}\displaystyle\frac{\sqrt{x\cos x}-\sqrt{\cos 1}}{x-1}=f'(1)=\displaystyle\frac{\cos 1-\sin 1}{2\sqrt{\cos 1}}\)　　(答)

まとめ

2019東大第５問のような問題に備えて、

「微分の定義式」は、

グラフ上に２点をとって、近づける

って流れで「何回も導きすぎて形まで覚えちゃう」ようにしましょう！

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！