【大学受験】数学の公式は、絡めて覚えれば忘れない！

大学受験の数学で使う公式って…

正しい「数学の公式」の覚え方

導出から深く理解する

チョー王道の覚え方ですね。学校の先生の多くは、公式が登場したときに導出や証明を丁寧に説明するんじゃないでしょうか？

でもね～…「ヘッセの公式」とかは一般証明スゲー面倒な割に受験で証明はあんま出ないし…

ってゆー、導出まで理解しようとするとコスパ悪い公式もあるんですよ…

何度も使う

なぜ受験生のほぼ全てが「２次方程式の解の公式」を忘れないのか？

日常的に数学を解いてれば、イヤでも一日数回は使うから。

何度も使えば忘れないから、何度もやる！

これも数学の公式の王道の覚え方です。

でも…教科書に載ってるけど使用頻度の低い公式ってのもあるんですよね…

上位校はこーゆーのを重箱のスミをつつくように出題してくることもあるから…おさえてないと出題されたときに終わっちゃう…ってゆーことも(笑)

複数の公式を絡めて覚える

複数の公式を、絡めて覚えておける！

ものもあるので…

「三角形の成立条件」と「２円が交わる条件」

三角形の成立条件

三角形の辺の長さが正ってのは当然ですが…

から。なので、「一辺＜他の２辺の和」になってる必要があって、これを全ての組み合わせで立式して整理すると…

２円が交わる条件

数学で距離はこの頭文字「\(d\)」って書くことが多いことは意識しましょう。

• 円は図形的考察が有効
• 円の形は半径が、位置は中心が決めている

とかってゆー本質説明は省きます(笑)「２円が異なる２点で交わる」って言われた瞬間に…

って考えて、次の式が立てられないとアウトです。

形が全く一緒でしょ？

「三角形の成立条件」と「２円が交わる条件」って式の形が全く一緒だよね？これって…

から。「三角形の成立条件」の方が使用頻度低いので、

「ベクトルのなす角」と「相関係数」

内積の定義式、

から割り算ですぐに導けますが…

ほんで2023共通テストⅠＡでももちろん登場した「相関係数」も紹介しましょう。

複雑に式で書くと…

ちょっと大学内容に入っちゃうんですけどね。\(n\) 個の成分のベクトルでも、

• 大きさは、各成分の２乗の和にルートをつける
• 内積は同じ高さの成分をかけて和をとる

ってゆー成分計算方法は変わりません。だから、\(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}x_1-\bar{x} \\ x_2-\bar{x} \\ \vdots \\ x_n-\bar{x} \end{pmatrix}\:\:,\:\:\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}y_1-\bar{y} \\ y_2-\bar{y} \\ \vdots \\ y_n-\bar{y} \end{pmatrix}\) として相関係数 \(r\) の式を書き換えると、

\[r=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}=\cos\theta\]

になっていることが分かります。このことを意識しておくと、

• 相関係数の式で、「分母が標準偏差の積」であることを忘れにくくなる
• 相関係数 \(r=\cos\theta\) だから、\(-1≦r≦1\) が当たり前になる

「三角形の面積公式（ベクトル）」と「コーシー・シュワルツの不等式」

三角形の面積公式（ベクトル）

「ベクトルのなす角」からすぐ導けるんですけどね↓

因みに1／2をなくすと平行四辺形の面積公式にでき、2014東大の理系数学第１問とかはこの公式をおさえてれば瞬殺です。

これのルートの中身≧０が、コーシー・シュワルツの不等式

「三角形の面積公式（ベクトル）」のルートの中身≧０から、

\[\left|\overrightarrow{a}\right|^2\left|\overrightarrow{b}\right|^2≧\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2\]

これの \(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}p \\ q \\ r \end{pmatrix}\:\:,\:\:\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) ってしてみると、あ～ら不思議…

等号成立条件も、

「三角形の面積公式（ベクトル）」のルートの中身＝０のとき
↓
２つのベクトル \(\overrightarrow{a}\:,\:\overrightarrow{b}\) の作る三角形の面積＝０のとき
↓
\(\overrightarrow{a}/\!/\overrightarrow{b}\) のとき

って感じで、絡めて暗記できます。

「相加相乗平均の不等式」と「等差・等比中項」

相加相乗平均の不等式

３数の場合の証明には \(y=\log x\) のグラフの凸性を使うので、ここでは形だけ↓を紹介します。

上の形で暗記すべきです、両不等式の左辺が平均になっていることが分かるから。この君たちが小学生時代から当たり前に使っている「平均」＝「足し算の平均」＝「相加平均」です。

では「掛け算の平均」の取り方ですが…

同じように考えれば、\(a\:,\:b\:,\:c\) の掛け算の平均は、取りあえず掛けて \(abc\) 、これは３次式だから、掛け算平均は、\(\sqrt[3]{abc}\) って求められます。

等号成立条件は、

ってノリでおさえてくれればオッケーです(笑)

因みに少し大学内容に入ってしまいますが、\(n\) 個になっても足し算平均と掛け算平均の取り方は変わらないので、

も、上の内容から作れてしまいます。

等差・等比中項

等差数列のとき、公差を \(d\) とすると、\(d=b-a=c-b\) 。等比数列のとき、公比を \(r\) とすると、\(r=\displaystyle\frac{b}{a}=\displaystyle\frac{c}{b}\) 。

この式も「足し算の平均」と「掛け算の平均」を意識すれば、暗記価値がなくなります！

（Ⅰ）等差数列のとき、真ん中の \(b\) は \(a\:,\:c\) の「足し算の平均」っぽいから、\(b=\displaystyle\frac{a+c}{2}\)

（Ⅱ）等比数列のとき、真ん中の \(b\) は \(a\:,\:c\) の「掛け算の平均」っぽいから、\(b=\sqrt{ac}\)

だから多分大丈夫。記述式だとルートで立式した部分書くと減点対象だけど、まーこれくらいは減点されてもいいよ(笑)

まとめ

数学の公式は、絡めて覚えれば忘れない！

でもこの記事で、君の「数学の公式」に対する苦手意識が少しでも解消されたら嬉しいな！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！