2023千葉大【理系数学】解説・解答・講評

2023千葉大学の理系数学の解説・解答・講評をお届けします！

千葉大の数学の特殊性

↑でもお話ししているんですが…

千葉大の数学の入試では、
文系数学と理系数学が同じ冊子で配られる！

理系数学では、学部・学科によって解く大問が変わる！

ことになるので、理系の人は解く大問を間違えないように気を付けましょう！

2023では以下の通りです。

学部・学科等	解答する問題番号	試験時間
教育学部（中学校コース数学科教育分野）	３～８の６問	150分
理学部（物理学科、化学科、生物学科、地球科学科） 工学部 園芸学部（園芸学科、応用生命科学科、緑地環境学科） 薬学部 先進科学プログラム（物理学関連分野、工学関連分野）	４～８の５問	120分
理学部（数学・情報数理学科）	４～９の６問	180分
医学部	５～９の５問	120分

本記事では理系数学を対象とするので、大問４～９の解説・解答・講評となります。

教育学部（中学校コース数学科教育分野）を受験する人は、大問３については文系数学の記事をご覧ください。

４

問題

考え方

(1)は、微分して増減表を作って最大値を読み取るだけ。文字定数が２つあるけど、千葉大受けるようなら混乱しちゃダメ！

(2)・(3)では以下の極限公式を使いますが…

覚えてなかった人はこれを機に覚えておきましょう！↓のようなグラフのイメージを持っておくと覚えやすくなります。

解答

５

問題

考え方

(1)は、\(\overrightarrow{\textrm{OA}}\) と \(\overrightarrow{\textrm{OB}}\) が１次独立であることの証明です。

まーでも初見でも迷うことはない問題でしょう。解答では背理法で、\(\overrightarrow{\textrm{OB}}=k\overrightarrow{\textrm{OA}}\) として序文の条件から矛盾を導いて証明しています。

(2)は、正射影ベクトル↓を暗記していれば一瞬で片付きます。

ま～でも導出のように、未知数（導出では \(t\)）をおいてやっても大して時間はかかりません。正確に当ててください。

(3)は、(2)を誘導として捉え、

\(\overrightarrow{\textrm{OR}}=\overrightarrow{\textrm{OP}}+p\overrightarrow{\textrm{HB}}\) と表せる
↓
(2)からの処理と全く同様にして、未知数 \(q\) で \(\overrightarrow{\textrm{OR}}\) を表す
↓
(1)より \(\overrightarrow{\textrm{OA}}\) と \(\overrightarrow{\textrm{OB}}\) は１次独立なので、係数比較

という、以前の記事でも紹介している「１次結合の＜解法２＞」で処理します。

「外接円の中心」＝「外心」は「垂直二等分線の交点」なので、(3)の \(t\) に \(\displaystyle\frac{1}{2}\) を当てはめて終了です。

って思う人もいるかもしれないけど、しっかりと誘導に乗って、出題者の意図に沿った解答を作りましょう(笑)

解答

６

問題

考え方

(1)は２回なので、具体的にどの目がどの順で出るか考えるだけ。

(2)・(3)は「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針２＞「確率漸化式」ってのはすぐ分かると思うんですが…

\(n≧1\) で \(a_n=1\:,\:3\:,\:4\:,\:5\:,\:6\:,\:7\) であることを把握
↓
各場合で１～６の目が出たら \(a_{n+1}\) がどうなるかの30通り以上を全て書き出す

しかありません。

これで(2)は、\(a_n=7\) のとき以外、\(a_{n+1}=7\) となる確率が \(\displaystyle\frac{1}{6}\) であることが分かるので、\(a_n=7\) のときの確率を \(p_n\) とすれば、

\[p_{n+1}=p_n+\displaystyle\frac{1}{6}(1-p_n)\]

が立式できて片付きます。

他社さんは表から上手い解法を見つけていましたが、凡人の僕にはムリでしたm(_ _)m

なので、確率漸化式で困った場合は、面倒でも全ての確率を設定して連立漸化式を立てれば何とかなる、とゆー経験則に従い、５数列を設定して連立漸化式を５つ立てた後、式的に対処を考える解答を作成させて頂いております(笑)

因みに授業してると漸化式の有効範囲を苦手にしている生徒って多いんですが…解答を例に説明すると、

\(n≧1\) で、\(q_{n+1}+u_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}\)
↓　\(n\) を●と思う
\(●≧1\) で、\(q_{●+1}+u_{●+1}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{●-1}\)
↓　●に \(n-1\) を代入
\(n-1≧1\) 、つまり \(n≧2\) で、\(q_{n}+u_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}\)

というように、\(n\) を●って思って、冷静に範囲にも代入するだけです。難しく考えないように！

解答

７

問題

考え方

(1)は、合成して \(-1≦\sin●≦1\) を使うだけ。他社さんは皆 \(\cos\) に合成していましたが、同じ解答書いてもしょうがないんで…

勝負は(2)から。「絶対値関数の定積分」なので、「グラフの上下」や「面積」を考えることで絶対値を外します。ここで(1)の合成角が有名角ではなく \(\alpha\) とおいたので、

解答の赤字部分のように、\(f(x)\) の周期性から、置換積分で \(\alpha\) のズレをなくす

という処理が必要になります。めぐろ塾↓では授業で扱うので的中！

因みにこのときの核となる、

\[\displaystyle\int_{-\alpha}^{0}f(t+\alpha)dt=\displaystyle\int_{2\pi-\alpha}^{2\pi}f(t+\alpha)dt\]

は \(t+2\pi\) を置換することで厳密に証明できますが、被積分関数 \(f(x)\) の \(2\pi\) 周期性から当たり前、かつ解答が長くなり過ぎるので省いています。実際、この部分の証明は省く参考書も多いので。

解答の青字部分では、場合分けを３つから２つに減らすために、やはり \(g(t)\) の \(2\pi\) 周期性から積分区間を変更しています。これはやらなくてもいいかもしれません。場合分け３つでも正確に当ててください。

(3)は、フツーなら \(0≦t≦\pi\:,\:\pi<t≦\displaystyle\frac{4\pi}{3}\:,\:\displaystyle\frac{4\pi}{3}<t<2\pi\) で場合分けするところですが、

って思いましょう(笑)領域の広い０～ \(\displaystyle\frac{4\pi}{3}\) のとこに最大値があるに決まっています。解答では厳密に面積で論証していますが、論証が甘くても減点覚悟で答を当てにいった方がいいでしょう。

解答

８

問題

考え方

「複素数平面」からの出題、極形式とド・モアブルの定理を用いた「\(i\) のｎ乗根」という有名内容です。

(1)は、(2)以降と同様の処理でも解けますが、\(-i=i^3\) と考えて因数分解公式

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]

で解いてしまうのが一番カンタン。

(2)は「\(i\) の100乗根」なので、\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)（\(r>0\)）とおいて100個の解を整数 \(k\) で表し、指定範囲に収まる \(k\) の個数をカウントする。

(3)も同様の流れですが…

／12　はメンドくさすぎるので、分子が奇数であることに注目、偶数に是正して２で約分
↓
／６　ならしらみつぶせるから、６で割った余りで場合分けして範囲の端を整数に是正

って感じで…

整数問題に長けた人であれば、

ってとこまで読める問題ではありますが…

どー解いても計12ヶ所の整数への是正が必要なので面倒です。(2)までの完答は必須として、(3)は「６で割った余りに注目」する部分くらいまで書ければ及第点に思えます。

解答

９

問題

考え方

(1)は、\(h(x)=tx-f(x)\) が \(x\) の４次関数になるので、微分して増減表を作るだけ。

(2)からは \(f(x)\) が具体的に与えられない「抽象関数」の問題です。苦手にしている人も多いと思いますが…

ことを覚えておきましょう。本問も、

\(h'(x)=0\) の解が、\(y=t\) と \(y=f'(x)\) の交点と考えることでただ１つと分かる
（定数分離法）
↓
これを \(x=\alpha\) とおくと、\(h(x)\) の増減表が作れて(2)が終了
↓
\(t=f'(\alpha)\) より、\(st-g(t)\) が \(\alpha\) の関数として表せる

という有名処理を面倒な微分計算なしで実行できるので、具体的な関数の問題よりもむしろカンタンです。

このクソ解答を打ち終わって、他社さんの解答を見て間違いに気づきました…

大学受験数学のプロ講師歴20年なのに、引っかけにはまってしまいました…

解答

講評

千葉大の理系数学は、やはり例年難しいです。ただ2022と比較しても…

じゃないでしょうか？

• ６・８は共に状況をしらみつぶす必要がある
• ７は論証方法に迷う
• 全体的に文字定数が多すぎる

って感じで、例年よりも「難しい」ってより「面倒くさい」ので。

理系学部・学科全てで共通問題である５（ベクトル）と８（複素数平面）(1)・(2)は簡単なので、これの完答はマストです。

４も指定されている学部・学科の人は完答して欲しいところ。

６は(1)までしか解けなくても大丈夫そう、解けた人は少ないと思います。

７は論証不備で減点されても、答を当てるの重視でいった方がいい。数学得意な人でこれのキレイな論証考えすぎて時間喰われちゃった人は結構多そうな気がします。それなら他の問題解いた方がコスパはいい。

８(3)は「６で割った余りに注目」する部分まで書ければ及第点。

９は僕のクソ解答くらい書ければ及第点(笑)

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！