2023上智理工【数学共テ併用】解説・解答・講評

2023上智大学理工学部の共通テスト併用方式の数学の解説・解答・講評をお届けします！

TEAPスコア利用方式の数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

１

問題

考え方

(1)は、「複素数平面」と「確率」の融合問題です。同じカードが２回使われないのでカンタン。(ⅰ)では偏角の和が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) になる組み合わせを、(ⅱ)では絶対値の積が１になる組み合わせを考えるだけです。

(2)が今年のセットの中で一番の難問でしょう。上智理工で頻出の、「集合・命題」の問題です。そもそも状況把握にそこそこ時間がかかりますし…

全部当てるためには、(ⅱ)と(ⅳ)で反例を冷静に見つけられるかが大切になります。特に(ⅳ)でつぎはぎ関数で反例を見つける難易度は高いです。

(3)は、

正四面体を２辺が直交するように重ねたときの共通部分
↓
それぞれの正四面体の断面は長方形、共通部分の断面は正方形になり、正八面体になる

という有名問題の経験があるかで勝負が決まってしまいます！

解答では一応論証を入れておきましたが、この問題の経験がある人はすぐに「断面は長方形！」ってして面積を適当な感じで計算しちゃいましょう。

この問題の経験がない人でも、最初のＭＮは解答のように二等辺三角形を作る、または最悪ベクトルで強引に計算しても当てられるので、この点数は必ず確保してください。

解説

２

問題

考え方

\(y=\sin x\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えたものが逆関数 \(y=g(x)\) であり、これらは \(y=x\) 対称
↓
問題文中の \(y\) と \(x\) を入れ替えて、\(y=\sin x\) で考えられるようにする

だけです。(3)は面積で、(4)は体積を考えることになり、グラフの位置関係が重要になるので、解答では(3)で \(y=f(x)=\sin x\) と \(y=g(x)\) の位置について言及しましたが、マーク式なのでこんなのいらないでしょう。ひたすら文章で \(x\) と \(y\) を入れ替えてしまえばオッケーです。

計算量も少ないため、冷静にこの問題を完答できたかどうかが合否を大きく分けたものと思われます。

解説

３

問題

考え方

鬼門と言えるところは、(2)の \(n=k+1\) のときの証明で１を相手に部分積分を使うところだけですが、

• log単体の積分は、１を相手に部分積分
• 定積分数列の漸化式立式では、部分積分

とゆ～お決まりをおさえている人であれば迷うこともないでしょう。できる人であれば５分くらいで終わる問題です。小問集合３問のどれよりも簡単。

解説

講評

• ずっと４問だった大問数が３問に減った
• ３が簡単すぎる
• 計算量も少ない

ので、かなりカンタンになってしまいました。その分、

• １(3)の類題の経験があったか
• ２の逆関数の問題を冷静に完答できたか

が大きく勝負を分けてしまったかと思います。

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！