2023筑波大【数学】解説・解答・講評

2023筑波大学の文系数学の解説・解答・講評をお届けします！

筑波大の数学の特殊性

筑波大の数学の入試では、
文系数学と理系数学が同じ冊子で配られる！

共通テスト↓

なんかと一緒です。ⅠＡの受験者にもⅠの問題が配られるのと同様。

2021～2023の筑波大数学

全体大問数	〔１〕～〔６〕の６問
文系数学で解く大問	〔１〕～〔３〕から２問選択
理系数学で解く大問	〔１〕～〔３〕から２問選択、 〔４〕～〔６〕から２問選択、 計４問を解答

因みに、解く問題数が理系の半分にも関わらず…文系にも理系と同じ試験時間120分が与えられるようです…

文系生徒であれば、〔１〕～〔３〕を全て解いて、少しでも完答に近づける２問を解答用紙に清書するのが良いと思います。

本記事では〔１〕～〔６〕全ての解説・解答を記載し、どの問題を選択するべきだったか等を講評にまとめます。

〔１〕

問題

考え方

(1)は接線公式で \(\ell\) の方程式を求め、\(C\) の方程式と連立して交点Ｂを求めるだけ。このとき、\(C\) と \(\ell\) は \(x=1\) で接するので、絶対に \((x-1)^2\) で因数分解できることを意識して計算しましょう。めぐろ塾では↓のようにプリントで強調するくらい重要な処理。

っつ～か「\(-2<t<1\)」って問題文の条件からＢの \(x\) 座標が \(-2\) である予測がついちゃうんですが(笑)記述式なんでちゃんと論証しましょう。

(2)はこれ↓を使えば作図の必要もありません。

(3)では、(2)の結果の３次関数を微分して増減表を作って、最大値を求めましょう。

解答

〔２〕

問題

考え方

\(C_1：y=|x^2-1|\) のグラフを、絶対値の中のグラフの \(x\) 軸より下を折り返すことで描きましょう。ここに \(\alpha>1\) を意識して \(C_2：y=-(x-\alpha)^2+\beta\) のグラフを描き込めば、折り返した \(y=1-x^2\) の部分と交わることが分かると思います。

最高次の係数の一致を考えれば図の状態になるのは当たり前なんですが、青色部分の論証もしておかないと減点を喰らうかもしれません。

図の状態さえ把握できれば、(1)は連立して交点を求めるだけ、(2)は面積を計算するだけなんですが…

• \((x-\alpha)^2\) の展開をガマン
• \(\alpha\) の式の代入をガマン
• (3)を意識し、\(S_2\) を使う

で計算しましたが、あまり楽になりませんでした。等積移動とか考えた方が楽だったかもしれません。でもこんな問題、悩むより手を動かしてしまった方が良いでしょう。

(2)の計算さえクリアすれば、(3)では相加相乗平均の不等式で証明できる形が登場します。等号成立条件の不成立を断る点に注意しましょう。

解答

〔３〕

問題

考え方

Ｇ以外の登場点は全て球面 \(S\) 上なので、全て原点からの距離が \(r\) であることを意識しましょう。

(1)は、「三角形ＡＢＣの重心をＧとする」って言葉から \(\overrightarrow{\textrm{OG}}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{\textrm{OA}}+\overrightarrow{\textrm{OB}}+\overrightarrow{\textrm{OC}}}{3}\) を立てて、与等式を使うだけ。

(2)は、与等式の \(\overrightarrow{\textrm{OD}}\) を移項して両辺を２乗しとくだけ。

(3)は、これまでの結果の活用を考え、始点をＯにそろえれば、\(\overrightarrow{\textrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\textrm{OP}}\) の最大に持ち込めます。こ～いった問題での常套の平方完成も必要ない、サービス問題です。

解答

〔４〕

問題

考え方

(1)は計算するまでもなく、奇関数の性質から０です。

(2)は、(1)の結果の利用を考え、\(\small{\{f(x)+g(x)\}^2=\{f(x)\}^2+2f(x)g(x)+\{g(x)\}^2}\) の両辺にインテグラルをくっつけるだけ。\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\{g(x)\}^2dx≧0\) を使えば証明終了です。

(3)は、絶対値とか気にする必要ありません。

回転軸をまたぐ図形の回転体の体積計算
↓
回転軸に対称に片側を折り返して考える

って常套処理を問題文がやってくれてるってことなので、作図なしで \(V\) が立式できます。後は(2)の結果を利用するだけ。等号成立条件では、(2)から \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\{g(x)\}^2dx=0\) を意識しましょう。

解答

〔５〕

問題

考え方

\(f(x)>0\) なので、\(g(t)=\displaystyle\int_{t+h}^{t}f(x)dx\) が瞬時に立式できます。

(1)は、これ↓

使って積分計算なしで微分してください。因みに「微積分学の基本定理」ってのはめぐろ塾で勝手に使ってる言葉で、一般的な受験用語ではありません、悪しからずご了承くださいm(_ _)m

(2)は、(1)から求まる \(g'(t)=0\) を解いて \(g(t)\) の増減表を作成するだけ。\(g'(t)=0\) が多少複雑な２次方程式になりますが、冷静に計算しましょう。

(3)は、(2)の結果から極限計算するだけ。教科書には記載されていない公式↓

を使うことになりますが、多くの参考書には記載されているので、本校受験者であれば当たり前に計算できるでしょう。

解答

〔６〕

問題

考え方

(1)は、式がアポロニウスの円が使える形ですが、「円であることを示し、」と言われているので、

両辺を２乗して、\(|●|^2=●\overline{●}\) を利用
↓
円の方程式の一般形 \(az\overline{z}+\overline{\beta}z+\beta\overline{z}+c=0\) を立式
↓
\(|z-\alpha|=r\) の形を導く

とした方が良いでしょう。

(1)の形で割れることに気づくと、アポロニウスの円の形
↓
「割るもの≠０」を意識し、(1)の結果も加えた２円

とします。因みに前者の円は「示し、」と言われていないので、解答ではアポロニウスの円を利用しました。

(2)さえクリアすれば、(3)は「鏡映の反転」…

結果が２直線になり、ｚ＝ｗの式の変形時に出てくるｗ≠０に注意する必要もない問題です。

解答

講評

に思えます。

冒頭で述べた通り、筑波大数学では文系も理系も解く問題を選べるわけですが、一般目線で言うと2023は…

大問番号	出題範囲	解くべき問題
〔１〕～〔３〕	文理共通範囲	〔１〕・〔３〕
〔４〕～〔６〕	理系専用範囲	〔４〕・〔５〕

だったように思えます。

• 〔２〕は論証不備や計算ミスのリスクが高い
• 〔３〕は(2)が少し他では見ない出題

なので。でも…理系でも１問辺り30分使える試験時間で…そんなに大問間の難易度差も大きくないので…

医学部医学科だと８～９割ベースの勝負

になるテストだと思います。解法が浮かぶのは当然で、ミスをどれだけ少なくできるかが大切なテストです。

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！