2023阪大【理系数学】解説・解答・講評

2023年10月19日2024年2月29日

めぐろ塾の安田

文系数学の記事↓を作ってから大分時間経っちゃいましたが(笑)

１

問題

考え方

「メルカトル級数」の問題です。

メルカトル級数

\(1-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{5}+\:\cdots\cdots\:\)\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\log2\)

めぐろ塾の安田

結果を覚えていても意味がないです。大学受験では本問のように、誘導つきでその導出が問われるので。一番カンタンな導出とかに興味がある人はググってください、本記事では割愛します(笑)

ま～圧倒的に「メルカトル級数」の導出の経験がある人の方が有利な問題ですが、知らなくても大部分の点数は拾えるでしょう。

(1)は、冷静に不等式の真ん中をシグマ計算して整理、両不等式ともに

不等式証明の基本　→　大－小≧０にして、因数分解

で示せます。解答では左側は真ん中の分母評価でやっちゃってますが。

(2)は、(1)の不等式を定積分化して、はさみうちの原理。

めぐろ塾の安田

ここで、「メルカトル級数」の導出の経験の有無で差がでます。

解答中にも赤で色をつけた通り、「メルカトル級数」の導出で一番大事なのは、

シグマとインテグラルの順番は交換してオッケー！

めぐろ塾の安田

ってとこ。両方とも中の和・差は分解可能だから。経験がないとここで頭悩ませちゃうんですよ（実体験ｗ）

経験のなかった人はこれを機に覚えておいてください。「ライプニッツ級数」の導出でも使えます。

解答

２

文系数学の３と共通問題です。

めぐろ塾の安田

コピペするのダルかった(笑)
文系数学の記事の３をご覧くださいm(_ _)m

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３

問題

考え方

\(N(\textrm{P})=4\) とか訳の分からない表現が使われていますが…

めぐろ塾の安田

教科書準拠の問題集には絶対掲載されてる「接線の本数問題」です。
「接線が４本引ける」＝「接点が４個存在」って部分を問題でやってくれてるってだけ。

因みに、「接線が４本引けるような」って文章になってない理由に気づいた人がいたら凄い！本問の場合、

からです。ま～気づいてても加点はされませんが(笑)

接線を求め、点Ｐの通過条件を処理
↓
立式できた式を、点Ｐの \(x\) 座標 \(t\) についての方程式と見て、
\(-\pi≦t≦\pi\) に異なる４つの実数解を持つ条件を考える（解配置問題）
↓
「異なる４つの実数解を持つ」を、グラフで「異なる４つの共有点を持つ」に言い換える

とゆ～、「接線の本数問題」での常套処理を実行しましょう。文字定数が \(a\:,\:b\) の２文字となっていますが、微分すると \(a\) だけになり、主に４次関数っぽい概形のグラフが登場します。

\(a\) の値によって、グラフの概形変化での場合分けが必要

になる点に注意して、共有点を４つ持つ条件を求めましょう。解答では \(y=b\) 相手に共有点を考えています（定数分離法）が、\(t\) 軸相手で考えても大丈夫です。

解答

４

問題

考え方

↓が下書きとして作成した解答です。

めぐろ塾の安田

ここ↑に辿り着くまでの所要時間…60分(笑)
個人的にはトラウマレベルの難易度でした(笑)

なんでそんなに頭を悩ませちゃったのかとゆーと…

始点を揃えても上手くいかない
その気になれば点Ｑ求められちゃう
もっとその気になれば、平面 \(\alpha\) の方程式立式して、点と平面との距離（受験では裏ワザ扱い）使えちゃう
そもそも(1)の誘導に従って、拘束条件が全て処理できてるのか不安

ってゆー、できる人ほど選択肢が多すぎる問題なんですよね。

めぐろ塾の安田

阪大だから、誘導がしっかりしてるはず！

と作問者様様を信じ、凄いキレイな解答をた～っぷり時間をかけて探すと上のようになりました(笑)

簡易図から、(1)のシステムを図形的に理解
↓
(1)の式で不明なのは \(\left|\overrightarrow{\textrm{AQ}}\right|\) だけなので、
三平方の定理でこれの書き換え

言葉にするとカンタンですが…ここまで辿り着く過程が…トラウマレベル(笑)

上の解答では \(\theta\) を鋭角と決めつけてしまっているので、鈍角にも対応できるような解答に書き換えると↓のようになります。上の解答のストーリーが読めていれば、書き換えはそんなに難しくありません。また、最後の式整理では \(a^2+b^2\) をカタマリで認識して計算しましょう。複雑そうな計算に見えますが、解答中くらいの行数で十分に計算可能です。

解答

５

問題

考え方

めぐろ塾の安田

本年最後の問題にして、本年で一番カンタン(笑)

定期試験よろしく、

一番最後の問題は、一番ムズイ

って思っちゃダメですよ、2023一橋大も最後の５が一番カンタンでした。

(1)は、\(b_1\:,\:b_2\) を \(a_1\:,\:a_2\) で表し、数え上げて確率を計算するだけ。

(2)は「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針２＞「確率漸化式」。

(2)の \(a_1b_n\) のとこ、\(a_1\) と \(b_n\) を７で割った余りをそれぞれ考えるべきか、ってのは少し迷うところかもしれませんが、\(b_n≡0\) 以外のときは全て \(\displaystyle\frac{1}{6}\) で \(b_{n+1}≡0\) となる、という立場の対等性を意識できれば解答のようにできるでしょう。

計算も楽なので、本年のセットで言うとこれの完答はマストです。