2024上智理工【数学共テ併用】解答速報

2024年3月28日2024年5月9日

2024上智大学理工学部の共通テスト併用方式の数学の解答速報をお届けします！

TEAPスコア利用方式の数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

１

問題

考え方

(1)は、「複素数の絶対値の最小」です。複素数平面で図形的に読み取る問題も多いんですが、この問題はただ、

\(z=a+bi\) のとき、\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
↓
ルートの中の三角関数の最小

と考えるだけ。

めぐろ塾の安田

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(2)は２回部分積分するだけ。通常と違って \(\sin\) を微分方向に採用しますが、流石に本校受験者であれば式の形から気づけるでしょう。

(3)は物理的表現の問題ですが、問われている内容はただの確率論です。でも…僕はメッチャ苦しみました(笑)

めぐろ塾の安田

え～、連続操作だからかけるだけじゃ～ん

って感じで(ⅰ)はカンタンに片付くんですが…

(ⅲ)の①を解いてる段階で…

めぐろ塾の安田

ＡからＰＱまで届かせて、Ｂまで届かせるから、
\(\left(\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)×\left(\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\cdots\)
わおっ！確率が１超えたっ！！

ここで、全体的にダブりに注目する問題であることに気付き、(ⅱ)も修正することとなりました(笑)講師歴20年にして、上智大学に確率の基本を教わるプロ講師が僕ですm(_ _)m

(ⅲ)は解答のように余事象使わないとキツいかと思います。

積・和の法則の基本を問うてくる良問だとは思いますが、(3)の(ⅱ)・(ⅲ)の受験者の出来は良くないでしょう。

解答

２

問題

考え方

めぐろ塾の安田

この問題の出来が、合否を大きく分けたと思います。

(1)・(2)共に帰納法です。

(1)は解答のように合同式も使って証明するのが良いでしょう。

(2)は合同式は使いづらいので、フツーに \(a_k^2+1=m\cdot5^k\)（\(m\) は整数）として証明します。\(n=k+1\) の証明の最中で構わないので、(1)の結果の利用に気づいてください。

「前の設問の証明結果を、後ろの設問で用いる」という、王道構成の良問です。カンタンな問題ではありませんが、今年のセットで言うと完答しとかないとキツいでしょう。

解答

３

問題

考え方

めぐろ塾の安田

問題文は僕が打ち込み直してますが、図の大きさとかは忠実に再現しました。

ビリヤード台の図でかっ！！！

って思いませんでしたか？これはまさにヒントで、

「図を大きく描いてあげてるから、ここでキレイに作図してみなさいよ～」

ってゆ～、出題者からのメッセージです。ある程度キレイに作図することで、

\(\textrm{P}_i\) の偏角は \(\displaystyle\frac{3}{4}\pi\) ずつ増えていく

ことが分かります。この論証をしやすくするため、解答では(2)までを複素数平面に帰着させて解いていますが…

めぐろ塾の安田

答あたってればオッケー。だってマーク式だもの(笑)

座標平面で考えても良いでしょう。図形的にも処理できると思いますが、計算ゴリ押しの方が安全かと思い、(3)は「ベクトルの共線条件（係数和＝１）」で片付けさせて頂きました。因みにこれで解く場合も、

図形的に \(\overrightarrow{p_1}\) と \(\overrightarrow{p_2}\) の係数おかしくないかな～

って確認した方がいいと思います。僕はこれで計算ミスを２個見つけました(笑)

めぐろ塾の安田

(3)まで解ければ大成功！(4)は時間内では捨てちゃっていいと思います。

解答でも厳密論証はめんどくて諦めました(笑)ホントは直角二等辺三角形になるのとかもちゃんと論証すべきなんですけど。線分ＯＱの動きを真面目に追わなくても、(3)で点ＡとＢを解析させていることから、これを基準とする図形の面積であることは分かるでしょう。ただ…僕はソフトで作図してるんで直角二等辺三角形が８個あることが把握しやすかったですけど…フリーハンドだと結構厳しそう。かつ計算もそんなに楽じゃないです。(4)を下手に攻めるよりは、他の問題の計算ミスの確認とかに時間を充てた方がいい気がします。