2024北大【理系数学】解答速報

2024北海道大学の理系数学の解答速報をお届けします！

１

問題

考え方

(1)は、連立方程式を解くだけ。両式ともカンタンに解けちゃうので、解答では \(y\) 座標の式を因数分解で解いてしまい、\(x\) 座標を満たすものをピックアップしています。

(2)は、点ＰとＱの両方を考えさすのかと思いきや、点Ｐの軌跡を考えるだけ。微分とか一切いりません。２倍角の公式で \(\cos t\) を消去し、\(x\) を \(y\) の２次関数で表すだけ。このとき、

\(0<t<2\pi\) より、\(y=\cos t\) について \(-1≦\cos t<1\) であることにだけ注意

しましょう。

解答

２

問題

考え方

(1)は、「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」です。１の目が最大で２回、２の目が最大で１回しか出れないので、排反分けも４つだけです。

(2)は、皆キライな条件付き確率ですが、

４回で持ち点10以上になるのは、出る目が、
（３、３、３、３）or（３、３、３、２）or（３、３、３、１）or（３、３、３、２）
の組み合わせしかない

ので、丁寧に排反分けして、各場合でその後の２回で17点以上になるときを考えましょう。この確率を、４回で持ち点10以上の確率で割るだけです。因みに、解答では後者２つはまとめて処理しちゃっています。

解答

３

問題

考え方

(1)は、特性方程式を解くタイプの漸化式を解くだけなので、本校受験者で解けない人はいないでしょう。

(2)は、「関数列」の問題ですが、漸化式から \(f_n(x)\) が \(n\) 次の項と１次の項しかない多項式って約束されてしまうので、１次の係数を数列設定して、この漸化式を立てるだけ。\(f_1(x)\) のみ、\(n\) 次の項と１次の項が被るので、初項は注意して求めましょう。立式できる漸化式は(1)と同様になるので、この結果を活用して解くのがベストです。

解答

４

問題

考え方

最終的には内接円との接点の１次結合、1998横浜国立大の問題を問題集に入れてるめぐろ塾↓的中！

…今年教えてる生徒…誰も北大受けてないけど(笑)

(1)は余弦定理は使わず、\(\left|\overrightarrow{\textrm{AB}}\right|=5\) を２乗して求めるのが良いでしょう。

(2)は、内角の二等分線定理で内心Ｉまわりの線分比を出し、「１次結合＜解法１＞」が一番楽です。

(3)は、点Ｈが直線ＯＡ上であることから \(\overrightarrow{\textrm{OH}}=t\overrightarrow{\textrm{OA}}\) と未知数 \(t\) で表し、(2)の結果を活用してＨＩ⊥ＯＡから未知数 \(t\) を決定する、「１次結合＜解法３＞」が一番カンタンでしょう。

解答

５

問題

考え方

(1)は、接点の \(x\) 座標を \(t\) っておいて接線公式を使い、原点の通過条件を処理して \(t\) を確定するだけ。

(2)は、\(f^{\prime\prime}(x)≧0\) を言うだけ。

(3)は作図するか迷いました。でも…

「下凸曲線の接線は、絶対に曲線より下側だよ～」

って誘導を作問者が(2)でくれてるので、作図なしで上下関係を把握して面積を定積分で表すのが一番キレイに思えます。

解答

講評

昨年2023の解説記事も作成しましたが↓

これと比べると…

です、間違いなく。

って思いながら、ソフトで打って解いてましたが、終始穏やかな問題ばっかりでした。計算量も大幅に少なくなっています。

ミスをどれだけ少なくできるかが勝負のテスト！

だったでしょう。

１つの計算ミスが致命傷になってしまうこの構成は、ちょっと受験生が可哀想な気もしてしまいます。解説中でも言ってきた通り、計算ミスをしたときのために丁寧に記述し、減点をおさえる能力も重要になったでしょう。

ま～でも…終わった試験のことはそこまで気にしなくていいですよ(笑)

これで今年の受験は終わりって人、１年間ホントにお疲れ様でしたm(_ _)m

後期を受験する予定の人は、それに向けて勉強頑張って！

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！