2024大阪公立大【文系数学】解説・解答・講評

2024大阪公立大学の文系数学の解説・解答・講評をお届けします！

理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

第１問

問題

考え方

問１は絶対値の中身の正負で場合分けしてグラフを図示するだけです。

問２は \(a\) の値での場合分けに気づきましょう。\(a\) が正の実数なので、場合分けは２つだけです。交点の \(x\) 座標 \(x=a-1\) の位置に注目しても場合分けの変わり目 \(a=2\) は判断できますが…

問３は、問２の結果から「つぎはぎ関数の最小」となるので、\(S(a)\) のグラフは図示せず、１つの増減表にまとめて読み取るのが良いでしょう。

全体的に計算は楽ではありませんが、

• 曲線と定点通過直線の交点の１つが \(x=1\) と確定するので、他の交点の計算が容易
• １／６公式がバリバリ使える

とゆ～ことからして、完答したい問題です。記述式なので、１／６公式を使用する際に、「∫(上－下)dx」→「因数分解」→「１／６公式を使用」という過程はしっかりと記述しましょう。

解答

第２問

問題

考え方

問１・２は \(p\) と \(q\) を未知数として連立方程式を解くだけ。解答では問２を先に片付け、問１はその結果を利用して解いていますが、答当たってれば問１から先に解いても大丈夫です。

問３の１．は、問２の結果を活用すれば終了。

鬼門は２．だと思います。多分解答のように、

\(k\) と \(5k^2-m^2\) が互いに素を示す
↓
\(p\) が整数であるとき、\(5m-2k\) は \(5k^2-m^2\) の倍数であることが示せる
↓
そのとき \(q\) も整数

とするのが正解だと思うんですが、\(q\) が整数って条件を使わないのが気持ち悪いんですよね…

解答

第３問

問題

考え方

文章が長くてイヤになりますが、ケース１は非常にカンタンです。取り出したカードは元に戻さない「非復元抽出」＝「非独立試行」で、結果的にＡは３枚、Ｂは２枚のカードを保有するので、コンビネーションで計算するだけです。問２では、Ｂの合計点がＡの合計点以上となる確率を１から引くの（余事象の利用）が良いでしょう。

ケース２については…僕も見た目で…

と思いましたが、実験してみれば拍子抜けするくらいカンタンでした(笑)

０のカードは最高点や合計点に関係ないので無視
↓
どこで０が取り出されても、結果的にＡは２枚、Ｂは３枚のカードを保有することになる
↓
ケース１のＡとＢの立場が代わるだけ

です。因みに、表を書いてこのことを論証しておきましたが、論証なくても答当たってれば大丈夫な気がします(笑)計算も問１・２が使えてほぼなし。このケース２の出来は、合否を大きく分けたかと思います。

解答

第４問

問題

考え方

ただひたすらに計算するだけの問題です。

問１は、図形的に平行とか \(zx\) 平面に乗る場合を考えるよりも、

直線のベクトル方程式で、直線ＰＱ上の点Ｒを実数 \(t\) で媒介変数表示
↓
\(zx\) 平面上にあるとき、\(y=0\) から \(t\) の１次方程式を導く
↓
その１次方程式がただ１つの解を持つときを考える
↓
\(t\) の係数が０でないとき、条件(Ａ)が成立

というように、式的に処理してしまうのが良いでしょう。

問１が微妙でも、問２は絶対に当ててください！ただひたすらに問１の結果から計算するだけです。最後も「\(p^2-2q^2\) の計算結果に \(\theta\) は含まれない」ってだけなので、計算ミスも確認しやすいです。どのタイミングで通分するか（結果的には最初がベストでした）とかには迷っちゃうと思いますが、答は絶対に当てましょう。

解答

講評

昨年の解説記事↓

も作成しましたが、これと比べると…

に思えます。昨年2023よりも典型的な出題が多く、計算量も減った印象です。

解説中でも言ってきた通り、第２問の問３の２．は外して良いでしょう。

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！