2024東工大【数学】解答速報

2024年2月26日2024年3月15日

2024東京工業大学の数学の解答速報をお届けします！

めぐろ塾の安田

人員不足のため、一人で孤独にやっております(笑)

ミスや致命的な間違えを見つけた場合は、TwitterのDM等でご指摘頂けますと幸いですm(_ _)m

１

問題

考え方

円と放物線が接する状態を考える問題です。2023東大理系数学第３問のように、放物線の軸上に円が乗るように調整されることが多いんですが、今回は軸と接する状態を処理します。解答では、

半径は接線との距離で、中心は法線の通過条件で処理
↓
中心の軌跡を \(a\) で媒介変数表示
↓
(2)では、媒介変数表示の微分計算

とゆ～、恐らく出題者が求めているであろう解答を書いたつもりですが、計算量は非常に多くなってしまいました。

めぐろ塾の安田

(2)の微分計算とかメンドすぎたので、共通部分 \(f(a)\) っておいて、別に微分しちゃってます。

軌跡を陰関数 \(f(x\:,\:y)=0\) で表す方向で考えた方が、計算量は少なくなりそうな気がします。でもどんな解法でやったとしても、しっかり部分点は拾える解答にしましょう。

解答

２

問題

考え方

めぐろ塾の安田

皆キライな「抽象関数」の問題です(笑)

でも誘導が親切なので、それに乗っていきましょう。

(1)は積の微分法使って終わり。

(2)も「\(q'(t)\) が定数関数であることを示せ」＝「\(q^{\prime\prime}(t)=0\) を示せ」って捉えて、微分していくだけですが…

めぐろ塾の安田

いきなり \(q(t)\) を微分しちゃダメ！
対数法則でlogをバラしてから微分しましょう。

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めぐろ塾の安田

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(3)は(2)を誘導として捉えて、不定積分で \(q(t)\) → \(g(t)\) の順で確定していきます。各積分定数を \(f(0)\) や \(g(0)\) からしっかりと決定してきましょう。

めぐろ塾の安田

(4)は個人的に結構キツかったです。

(3)まででそこそこボリュームあったので、曲線の長さの公式を使ったらインテグラルの中が定数とかになってカンタンになるんじゃないかな～と思っていたら、\(f(t)\) の積分が必要でした。抽象関数のままで部分積分とかを検討してしまってタイムロス(笑)結局、(3)までの誘導から \(f(x)\) を具体的な関数として確定できることに気づかないといけません。

さらに…これに気づいて積分計算をしても…置換積分が２回必要で…最後は \(\tan\displaystyle\frac{3}{8}\pi=1+\sqrt{2}\) まで使わせる鬼畜仕様…

(3)までできていれば及第点だと思います。

解答

３

問題

考え方

初見では…

めぐろ塾の安田

点取り問題ありがとうございます！

って思ったんですが…(1)の計算がひたすらに面倒くさい問題です。

ネタ的には本校受験者であれば誰もが経験のあるであろう、図形と漸化式の問題。２直線の交点に近づいていくことは当たり前です。座標について特性方程式を解くタイプの漸化式が出ることも当然なんですが… \(a\:,\:b\) が入ってて、登場する分数もキレイに約分とかされないから計算がホントにめんどかったです。しかも「点 \(\textrm{A}_n\:,\:\textrm{C}_n\) の座標を求めよ」って…

めぐろ塾の安田

同じような長い式何度も書かせんじゃねぇええええええええええええええーっ！！

って受験者の皆様の気持ちを代弁して叫んでおきます。もちろん僕はソフトで打ち込んでるのでコピペさせて頂きましたm(_ _)m

図から計算させる(2)や(3)はキレイな誘導だっただけに、\(a\:,\:b\) の値は具体値で出して欲しかった問題。(1)の計算で脱落してしまった人は可哀想。

解答

４

問題

考え方

「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針２＞「確率漸化式」で考えるべき問題に思えます。独立試行チックに考えてＣの和を二項定理で計算ってのでもいける気はするんですが、(3)とかがヤバくなりそうなので回避しました。

確率漸化式で考えれば(2)まではカンタン！

なんですが…

めぐろ塾の安田

(3)はヤバかったです。これだけで３時間以上悩むとゆ～(笑)たくさん解答速報を書きたい僕のメンタルをバキバキに折ってくれました…

確率漸化式でいくには、問題文での文字の設定が最悪です。

硬貨を追加するとき、\(m\) を定数として扱わなければならない
漸化式を立式、解く最中も確率に登場する \(m\) は定数

なので。特に僕は後者で混乱し、係数が変数タイプの漸化式だと思い、面積評価を６回実行しようとして、一回寝てもまだ気づかず、３時間以上をムダにしました。このことを考えると、確率漸化式でいけって問題じゃないのかもしれません…解答では僕のような被害者のために、変数のとこを \(l\) に書き換えたものを掲載しました。

しかし…計算量も多いし…処理のレベルも高いので…確率漸化式で(2)までできてればオッケーです！(3)は絶対に捨てましょう！！

解答

５

問題

考え方

見た目ムズそうに見える問題ですが、今年のセットの中で答を出すだけなら一番カンタンな問題でした。

\(\alpha^n=1\) を１の \(n\) 乗根と捉える
↓
複素数平面上で２次方程式の解の表す点を単位円周上にする

だけなので。実数係数方程式の２解が \(\alpha\:,\:\overline{\alpha}\) ってして解と係数の関係を使えば、瞬時に \(b\) が求まります。ただ、こ～するためには \(\alpha\) が虚数じゃないとダメなので、判別式 \(D\) で場合分けを行いましょう。整数 \(a\) の範囲はここから「絞り込み」できます。

めぐろ塾の安田

個人的に気になるのは、「\(\alpha^n=1\) を満たす正の整数 \(n\) が存在」って言われているところです。

\(\alpha^n=1\) って条件を、そのまま１の \(n\) 乗根と認識して解くと減点されそうな気がしました。なので、求まった整数 \((a\:,\:b)\) の組で解 \(\alpha\) を計算し、各解で正の整数 \(n\) の存在を断っています（十分性の確認）。

ま～でも試験時間内ではそんなことまで気にしなくていいです。ひたすらに答を当てましょう。