2024筑波大【数学】解説・解答・講評

2024筑波大学の文系数学の解説・解答・講評をお届けします！

筑波大の数学の特殊性

筑波大の数学の入試では、
文系数学と理系数学が同じ冊子で配られる！

共通テスト↓

なんかと一緒です。ⅠＡの受験者にもⅠの問題が配られるのと同様。

2021～2024の筑波大数学

全体大問数	〔１〕～〔６〕の６問
文系数学で解く大問	〔１〕～〔３〕から２問選択
理系数学で解く大問	〔１〕～〔３〕から２問選択、 〔４〕～〔６〕から２問選択、 計４問を解答

因みに、解く問題数が理系の半分にも関わらず…文系にも理系と同じ試験時間120分が与えられるようです…

文系生徒であれば、〔１〕～〔３〕を全て解いて、少しでも完答に近づける２問を解答用紙に清書するのが良いと思います。

本記事では〔１〕～〔６〕全ての解説・解答を記載し、どの問題を選択するべきだったか等を講評にまとめます。

〔１〕

問題

考え方

(1)は始点を揃えて \(\overrightarrow{\textrm{OC}}\) を内角の二等分線定理から \(\overrightarrow{b}\) で表すだけ。「１次結合＜解法１＞」です。

(2)は \(\overrightarrow{\textrm{OD}}=t\overrightarrow{\textrm{OA}}+(1-t)\overrightarrow{\textrm{OC}}\) とおいて「１次結合＜解法３＞」でも解けますが、↓の「正射影ベクトル」を使うとカンタンです。

(3)は「面積比は線分比で考える」というお決まりにより、△ＯＡＢの面積から計算します。△ＯＡＢは二等辺三角形なので、三平方の定理から高さを計算するってゆ～のに不満がある人は、この記事のここをご覧ください(笑)

解答

〔２〕

問題

考え方

(1)は底を揃えて相加相乗平均の不等式を使うだけ。記述式なので、等号成立条件もしっかりと断りましょう。

「対数不等式の表す領域の図示」なので、底を揃え、logをまとめてから中を取り出します。\(x>1\) が言われているので、「０＜底＜１のときはlogを外す際に不等号の向きを入れ替える」ことによる場合分けも発生しないサービス仕様です。

(3)の面積計算は、解答のように扇形から放物線領域を引くのが一番カンタンかと思います。放物線領域の面積計算で、１／６公式が２回使えるので。

解答

〔３〕

問題

考え方

(1)はただ接線公式を使って \(L\) の方程式を求めるだけ。(2)の前半はその結果から、\(L\) と \(C\) の方程式を連立して交点を求めるだけ。

\((x-t)^2\) で因数分解できる（\(x=t\) を重解に持つ）ことは明らかなので、「１解をみつけて組み立て除法」とかやらずに瞬時に計算を終了させてください。後半の \(f'(t)f'(a)\) の最小については、図形的意味など考えずにひたすらに計算しましょう。前半の結果を使えば \(t\) の複２次型（奇数項がない）４次関数の最小となるので、平方完成して終了です。

(3)は \(f'(s)\cdot f'(t)=-1\) を \(s\) の方程式と捉え、この解の存在条件を考えます。

２次の係数が０のときは２次方程式になりません！めぐろ塾ではめっちゃ強調する注意点なんですけど、これを見てる君がそ～ゆ～授業を受けてることを祈ります。

解答

〔４〕

問題

考え方

(1)は部分積分するだけ。(2)は、(3)を先に見ておけば媒介変数表示された曲線の図示の誘導であることが分かるでしょう。

\(y\) 座標を区別して、面積を定積分で立式
↓
その違いは、積分変数を \(t\) にしたとき、積分区間に現れる
↓
最終的に定積分が１つにまとまる

という頻出処理が必要になることも分かるでしょう。因みに、メンドくさくてもこの処理は詳細に記述しないと記述式では減点されると言われています。作業として淡々とこなしましょう。

解答

〔５〕

問題

考え方

\(f(x)\) の最後の項は、積分計算せずとも微分できる形です。解答のように最初に \(a\:,\:b\) で \(f'(x)\) を計算しておくと、計算のロスが少なくなります。

(1)は \(a=8\pi^2\:,\:b=-4\pi\) を当てはめて増減表を作成するだけ。

(2)は \(f'(x)=0\) が２次方程式と \(\sin2x=0\) に分かれることに注目し、

\(\sin2x\) は \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\:,\:\pi\) を解に持ち、その前後で符号変化
↓
２次方程式の解を \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\:,\:\pi\) にすることで、その符号変化を打ち消す

と考えます。「\(f(x)=0\) が極値を持つ」＝「\(f'(x)=0\) が解を持ち、その前後で符号変化」という基本が当たり前の人からすれば、極めてストーリーの読みやすい問題です。

解答

〔６〕

問題

考え方

全体的に、

• 複素数平面の問題で、「分数式が純虚数」＝「垂直」
• \(\displaystyle\frac{●-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}=\displaystyle\frac{●-|\alpha|}{\alpha-(-|\alpha|)}\) と見る

ことで、２点 \(|\alpha|\:,\:-|\alpha|\) を直径の両端とする円の問題としてキレイに解答できる設計となっています。

最初、式的にやってしまいました＝別解(笑)

(2)を解いてる段階で…

と思ってやっと気づいた次第です(笑)悔しいので式的に(3)も解いてみましたが、地獄…っつ～か図形的にやった答と合わせにいってやっと答にたどり着いた感じ…

あまり別解は参照しないでください(笑)

解答

講評

2023の解説記事↓

も作成しましたが、これと比べると…

に思えます。ただ…

冒頭で述べた通り、筑波大数学では文系も理系も解く問題を選べるわけですが、一般目線で言うと2024は…

大問番号	出題範囲	解くべき問題
〔１〕～〔３〕	文理共通範囲	〔１〕・〔２〕
〔４〕～〔６〕	理系専用範囲	〔４〕・〔５〕

だと思います。文系の難易度は変化なし、理系も〔６〕さえ選択しなければ変化なしでしょう。

理系でも１問辺り30分使える試験時間なので…

医学部医学科だと８～９割ベースの勝負

になるテストだと思います。医学部志望生が〔６〕を選択しなかったことを祈るばかり…(笑)

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！