2024阪大【理系数学】解答速報

2024大阪大学の理系数学の解答速報をお届けします！

１

問題

考え方

(1)は「解配置問題」なので、\(y=f_n(x)\) のグラフと \(x\) 軸の交点で考えるだけ。微分すれば \(f’_n(x)<0\) が分かるので、端 \(f_n(0)>0\) と \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f_n(x)<0\) を言って終わりです。

(2)・(3)は「方程式の解の極限」。このタイプの問題は、解を方程式に代入した \(f_n(a_n)=0\) はほぼ使う、ってこと以外に式変形でのお決まりがなくてキライなんですが、この問題は指針がすぐに立てられてしまいます。

(3)の \(na_n\) はどーせ収束するに決まってる
↓
(2)は\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\) に決まってる
↓
解 \(a_n\) について、\(0<a_n<\displaystyle\frac{●}{n}\) を探して(2)は「はさみうちの原理」
↓
(3)は \(f_n(a_n)=0\) を使う

で終了。今年のセットでこれ外しちゃうと厳しいので、時間をかけてでも完答したい。

解答

２

問題

考え方

等式が一本しか立たないので、\(\alpha\:,\:\beta\) のうち、１個しか消去できません。カンタンな方 \(\beta\) を消去するのは当たり前なんですけど…残りは不等式しかないので、\(\alpha\) が消去できない…

図的にやることも考えたんですが、メッチャ複雑になりそうなので、結局マイナー知識である「複素数における三角不等式」↓を使って \(\alpha\) を消すしかないって結論になりました。

↑のようにプリントに載せてるめぐろ塾↓的中！！

…今年教えてる生徒…誰も阪大受けてないけど(笑)

(1)さえ解ければ(2)はオマケみたいな問題です。

「複素数の三角不等式」は、前述の通りマイナー知識なんで、解けた人は少ないでしょう。もしこの問題で完答できてたら、かなり点数を稼げるはず。因みに等号成立条件も言及しようかと思ったんですが、採点対象にならなそうなので解答では割愛しました。悪しからず、ご了承くださいm(_ _)m

解答

３

問題

考え方

空間で「ねじれの位置にある２直線」についての問題。今年2024は京大↓

もねじれ、阪大もねじれ…

っつ～か僕もこんな当たり前のことの証明、やったことありません(笑)キャリア20年ですけど…

なんで、今年の共通テストⅡＢの最後↓

の太郎さん解法を説明するときにめぐろ塾の授業でする解説を、そのまま証明とさせて頂きました。式はほぼなしで(笑)その罪悪感から、色はふんだんに使い、授業の解説ではしない空間座標への言い換えまでしておきましたが…

なんか問題あったらTwitterのDM等でご指摘頂けますと幸いですm(_ _)m

解答

４

問題

考え方

ただ \(y\) 軸回転体の体積を２つ計算するだけ。

(2)では座標の区別とかが必要になりますが、本校受験者であれば何度も経験のある処理でしょう。最後の \(a\) の値が複雑になったり、その値が１より大きいことを言う難易度はちょっと高め（解答では２次関数のグラフと \(a\) 軸の交点イメージで片付けています）ですが、今年のセットで言うとほぼ完答はマストです。時間かけてでもいいんで、答を当てましょう。最後辺りでちょっと計算ミスっちゃっても、定積分を円の面積で計算とか、核となる部分がしっかりと記述してあれば大丈夫です。

解答

５

問題

考え方

「オイラー関数」についての問題です。でも気づいててもほぼほぼ証明なんで、(1)がやりやすくなるくらい。

(1)は、互いに素なものはカウントしにくいんで、約数の個数を考えて、全体から引きましょう。約数の個数カウントでは、３つの集合に対する一般的な和の法則を用います。

(2)の正しいストーリーの読み方は、

(1)から、\(n\) は３種類以下の素因数で作られる合成数っぽい
↓
(1)の結果から、１種類、２種類と試し、３種類は不適
↓
４種類以上の最小値は1000を超えるので、考えなくて良い

です。ただ、僕は(1)の結果から、３種類の素因数で作られる合成数で適するものが見つかるってストーリーを最初に立ててしまって、すぐに(1)の結果から攻めちゃいました…

分かってたフリするのもフェアじゃないので、カッコ悪い解答をそのまま掲載させて頂きます。もっとカッコいい解答をご所望の方は、他の解答速報さんをご覧ください。阪大なんでいくらでも見つかります(笑)

解答

講評

昨年2023の解説記事も作成しましたが↓

これと比べると…

に思えます。２と５がかなり難易度高め、かつ３がキャリア20年の僕も初見の問題だったので。３とかはビビっちゃった受験生が多いと思います。

昨年2023よりも、大問間の難易度差が激しかったです。

合格には、１と４と５(1)のほぼほぼ完答はマスト！

ここに「３完答＋他で部分点拾う」とかできれば、かなり数学で点数を稼げるでしょう。

これで今年の受験は終了って人、本当に一年間お疲れ様でしたm(_ _)m

後期を受ける予定の人は、それに向かって勉強頑張って！！！

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！