2025京大【文系数学】解答速報

2025年3月21日

2025京都大学の文系数学の解答速報をお届けします！

めぐろ塾の安田

理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

１

問題

考え方

めぐろ塾の安田

昨年2024では姿を消していた小問集合、復活。

問１は外せないでしょう。等式条件に対数をとって、文字消去するだけです。解答では \(y\) と \(z\) を消去しています。

問２は「整数問題」。テキストに類問いれてるめぐろ塾↓的中！

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整式の割り算を行い、余りの「（１次）／（２次）」を整数にする
↓
ｎが大きくなると、分母の２次の方が大きくなるに決まってる
↓
｜（１次）／（２次）｜≧１となるものは少ないので、範囲を「絞り込み」できる

と考えます。類問の経験があるかないかが大事な問題でしょう。

解答

２

問題

考え方

めぐろ塾の安田

見た目意味不明…

な問題ですが、２次式 \(f(x)\) を３文字で設定し、問題文で「恒等式」って強調されている通り、係数を比較しましょう。

結局 \(a\:,\:b\) が２文字で表されるので、これらを消去して \(a\:,\:b\) の関係式を得れば終了。係数比較後は「軌跡」に慣れているかが重要な問題です。

計算はめんどくさいですが、時間はたっぷりあるので完答したい問題。

解答

３

問題

考え方

「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針２＞で考える問題と気づくのは当然のこととして…

３の余りで連立漸化式を立てる確率漸化式の問題の経験があるか

が大事になる問題です。

めぐろ塾の安田

これが楽勝になってる人は、
３で割って１余る→最後に２を記録すれば偶数になって６の倍数
と気づけるでしょう。

ここに気づける人なら、最後にｎ＝１の場合の言及が必要なことも言うまでもないかと。

あまり見ないタイプの問題ですが、有名問題に持ち込む意識があれば解けるってゆ～良問かと思います。

解答

４

問題

考え方

中身の正負で場合分けして絶対値を外すと、\(C_1\) は２つの放物線を繋いだものとなります。(1)では \(C_2\) がこれと共通接線 \(l_2\) をただ一つだけ持つことを示したいので、

\(C_1\) のそれぞれの放物線と \(C_2\) の共通接線を求め、
接点が範囲内にあるものは一つだけ

であることを示します。２放物線の共通接線の求め方には複数の方法がありますが、解答のように、

\(C_1\) 上の接点をおいて接線を立式、\(C_2\) と連立して \(D=0\)
↓
おく文字が少ない　かつ　接点が範囲内かが調べやすい　でベスト！

です。

(1)さえクリアすれば、(2)はただの定積分での面積計算。解答では対称性を活かし、台形から放物線面積を引くことで計算しています。

解答

５

問題

考え方

ある点が平面上
↓
その点の位置ベクトルを、平面を作る３点の位置ベクトルで表したとき、
「係数和＝１」

ってのが徹底されていれば、クソ簡単な問題。\(s\:,\:t\:,\:u\) の等式を　\(\displaystyle\frac{1}{4s}+\displaystyle\frac{1}{2t}+\displaystyle\frac{3}{4u}=1\)　って変形して、これらを係数にしたベクトル作るとＡ、Ｂ、Ｃだけになって終わり。

めぐろ塾の安田

因みにこれは理系数学４との共通問題で、理系数学はこのような点が「ただ一つ」であることを証明する必要があってクソむずかったんですが…

文系出題なんでかなり手加減されちゃってます(笑)

見た目に惑わされずに冷静に解けた人は、かなり有利になる問題でしょう。