2025京大【理系数学】解答速報
2025京都大学の理系数学の解答速報をお届けします！
めぐろ塾の安田人員不足のため、一人で孤独にやっております(笑)
ミスを見つけた方は、X（Twitter）のDM等でご指摘頂けますと幸いですm(_ _)m
１
問題
考え方
めぐろ塾の安田昨年は姿を消していた小問集合、復活。
問１は今年の早稲田理工の１と一緒。\(z\) が円上、かつ \(●z+\displaystyle\frac{▲}{z}\) のときは\(z\) を極形式でおく！って授業しているめぐろ塾↓的中！！
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単純な三角関数の最大・最小に帰着して終了。
問２は京大が小問集合で大好きな積分計算。本校受験者であれば十分に対策しているでしょう。
めぐろ塾の安田因みに僕…最初(2)でこ～↓やっちゃった(笑)
分母に０の可能性あるものかけちゃってることになるので、↑だとアウトです。僕と同じ人がいても、試験中あせっちゃダメ。半角でルートを外しましょう、２回計算しても大した計算量じゃない。
解答
２
問題
考え方
最初に移項して因数分解した人多そう…
めぐろ塾の安田安心してくれ、僕もやった(笑)
整数問題は試行錯誤が必要です。最初に移項して因数分解すると素因数の「拾い上げ」ができないので、９がわざとらし～ってことから mod 3 で考えると、ｘとｙが３の倍数であることが分かります。なのでｘ＝３ｋ、ｙ＝３ｌっておいて、３が多すぎるからｚ＝３ｍっておいてから因数分解すると素因数が「拾い上げ」できてハッピー。
解いてて一番気になったのは、「\(N\) が最小となること」を厳密に論証するかです…
めぐろ塾の安田こんなのｋとｌとｍを最小に決めりゃ最小になるに決まっとるやん…
って感じで。時間的制約のない僕は一応アタマ悩ませてしっかり論証しましたが、試験時間内ではここまでしなくて良いでしょう。答が当たってれば大丈夫な問題だと思います。
解答
３
問題
考え方
めぐろ塾の安田圧倒的な点取り問題！
今年のセットでこれ外すとキツイです。微分から \(l_t\) を立式して \(p(t)\) を求める→微分して増減表で確実に当ててください。何のひっかけもないサービス問題です。
解答
４
問題
考え方
ある点が平面上
↓
その点の位置ベクトルを、平面を作る３点の位置ベクトルで表したとき、
「係数和＝１」
ってのが徹底されていれば、答は５分もかからず求まります。
(1)は \(s\:,\:t\:,\:u\) の等式を \(\displaystyle\frac{1}{4s}+\displaystyle\frac{1}{2t}+\displaystyle\frac{3}{4u}=1\) って変形して、これらを係数にしたベクトル作るとＡ、Ｂ、Ｃだけになって幸せ。(2)は同じく「係数和＝１」から高さの比が分かって幸せ。
めぐろ塾の安田この問題の鬼門は(1)のＰの一意性の証明でしょう。
でもここは外していいんじゃない？(笑)
具体的な平面ＬＭＮの３状態を出し、それらが２点で交わらないことを言えば証明できたことになりますが…「恒等式でしっかり証明すべきか？」とか「具体的な平面や交線って計算しなくて大丈夫？」ってとこに不安になっちゃう…
めぐろ塾の安田平面や交線の計算がダルかったので、解答では「っぽいこと」書いて終わりにさせて頂きました、悪しからずご了承くださいm(_ _)m
答の値だけ当てて、(1)の一意性の証明はスルーしちゃうのがタイパはいい問題でしょう。
解答
５
問題
考え方
めぐろ塾の安田空間とかベクトルってよりは、極方程式の問題でした。
本校受験者で、「直線ＡＰをベクトル方程式で立式」→「ｘｙ平面（ｚ＝０）との交点を求める」として、Ｑの媒介変数表示を得るのに困る人はいないでしょう。ここで登場する、
媒介変数表示 \(\left\{ \, \begin{aligned} & x=f(\theta)\cos\theta \\ & y=f(\theta)\sin\theta\end{aligned} \right.\)
↓
極方程式 \(r=f(\theta)\) を立式できる
↓
\(r=\displaystyle\frac{1}{a+b\cos\theta}\) は２次曲線の極方程式
ってことをある程度おさえていると、解法に迷いません。
めぐろ塾の安田cosの場合は中心がｘ軸上、sinの場合はｙ軸上、極が焦点、\(\left|\displaystyle\frac{b}{a}\right|\) は離心率とか色々あるんですけどね、そこまで覚えておく必要はありません。僕も詳しくは覚えてない(笑)
何か最初一橋書いた後だったんで眠くてｘの範囲を微分で求めてしまっていたんですが、Twitterで優しい方が…
ｒの範囲だしちゃうのがいいですよ～
って教えてくれて、解答打ち直しました。厚く御礼申し上げますm(_ _)m
ま～細部はどーでもいいので、双曲線の方程式は当てたい問題。
解答
６
問題
考え方
めぐろ塾の安田これは難しいですね…
「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針２＞「確率漸化式」なのは明白ですが、
\(X_{n+1}\) を追加するとき、\(X_n\) も影響しちゃう
↓
確率を４つおく必要がある
問題で、今年の一橋の５と酷似していました。
めぐろ塾の安田こ～ゆ～場合、立式できた連立漸化式を良く観察するしかありません。
確率ってより数列の問題です。
不要な \(c_n\) と \(d_n\) を消す方向に動いてしまって、大分タイムロスしました…30分くらい(笑)
結果論から言えば、
\(a_n+b_n+c_n+d_n=1\) を作るように式を組み合わせる
↓
\(c_n\) が消去できるので、\(a_n+b_n=p_n\) を作れるように頑張る
↓
２項ずれ漸化式が立式できる
が正解なんですが、試験時間内にここまで完璧に立ち回るのはキツイかと…
その後も周期数列に慣れてないと大分混乱する処理です。漸化式の立式までの途中点を獲得すればオッケーな問題でしょう。
解説
講評
去年2024の解答速報↓
も行いましたが、それと比べると…
| 解答方式 | 試験時間 | 大問数 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 記述式 | 150分 | ６問 | 変化なし |
かと思います。
- 昨年より点取り問題（１・３と４の答のみは当てやすい）が増えた
- 昨年よりムズい問題（４の一意性の証明・６）も増えた
めぐろ塾の安田ので、総合的にはイーブンかと。
１・３の完答 ＋ ２・４の答のみ は欲しいテスト！
です。これに「５の双曲線の方程式は出せた」とか「６の漸化式立式まではいってる」とかであれば、かなり数学でアドバンテージを得られるんではないでしょうか？
ま～でも終わった試験のことをそこまで気にするのは止めましょう(笑)
これで今年の受験終わりって人、本当に１年間お疲れ様でした！
後期試験控えている人は、気を緩めずに頑張って！めぐろ塾で解答速報を書きながら応援しています！大丈夫、君は一人じゃない(笑)
今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！
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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！
