2025北大【理系数学】解答速報

2025北海道大学の理系数学の解答速報をお届けします！

１

問題

考え方

(1)は等比数列の一般項を求めて、底の変換公式を使うだけ。数列の問題ってよりは対数法則の問題。

(2)は、(1)の結果を与式に代入して分母を払って計算するだけです。

って思ってたら、\(n\) の項全部消えちゃうのでそ～ゆ～のも必要なし。

(3)は、(1)と(2)の結果から \(a_n\) を \(\alpha\) のみで表し、桁数の定義式から指数法則で計算です。めぐろ塾↓では…

桁数の定義式なんて覚えさせず、↓のように具体例からその都度導かせますが…

本校受験者には釈迦に説法でしょう。意外と肩の指数の大小が際どいので、時間をかけてでもしっかりと大小比較を行ってください。

解答

２

問題

考え方

直線 \(\textrm{Q}_1\textrm{Q}_2\) は点 \(\textrm{P}\) を極とする極線と呼ばれるもので、点 \(\textrm{P}\) を接点として円 \(x^2+y^2=1\) に接線公式を使うと \(px+qy=1\) と瞬時に求まるんですが…

結果論からすると、「円の法線は中心を通る」ってことから直角三角形の面積で計算して終了です。

(2)はその結果から、四角形の面積 \(S\) の最大・最小を計算するだけ。

\(\textrm{P}\) が楕円上の点で、最大・最小
↓
\(\textrm{P}\) を \(\theta\) で媒介変数表示し、三角関数の最大・最小へ

意外と受験者の(1)の出来は良くなさそうな気がします。(1)解けた場合、(2)はしっかり確保したいところ。

解答

３

問題

考え方

(1)は、部分積分を２回使って同じ形を出して計算です。

(2)は、(1)の結果に当てはめて極限計算。極めて基本的な形。

計算量も少なく、完答はマストな問題です。

解答

４

問題

考え方

(1)はアポロニウスの円なんですが、比に絶対値が入るので、直径の両端を出そうとすると計算が複雑になります。教科書通り、

２乗して絶対値を外す
↓
円の一般形 \(az\overline{z}+\overline{\beta}z+\beta\overline{z}+c=0\) の処理

でやらないとキツいです。

(2)で新たに登場する \(|z|^2=6-a\) も円なんで、(1)の円と共有点を持つ条件を考えて終了です。

• \(6-a≧0\) を失念しない
• \(a≠1\) は(1)のみの条件なので、この場合の考察も失念しない

ことに注意しましょう。

解答

５

問題

考え方

(1)は、

順番指定の順列　→　選べば勝手に並ぶ

ってことをおさえてれば瞬殺。

\(L\) を求めるのが目的でない
↓
\(L\) は \(_{n}\textrm{C}_3\) に比べてかなり大きい
↓
(1)の \(k\) に \(n\) を当てはめて \(_{n}\textrm{C}_3\) 通り
↓
等号が成立しないよう、これ以外のものを１つ探すだけ

で、解答からも分かるように数行で解決する問題ではあるんですが…

(2)の受験者の出来はあまり良くないでしょう。

解答

講評

昨年2024の解説記事も作成しましたが↓

これと比べると…

です。

一昨年2023の４のような難問はなく、昨年2024と同じく穏やかな構成だったとは思いますが…

去年2024は全てドストレートな問題だった
↓
今年2025は２とか５とかみたいに少し変な問題がある

って感じなので…

１・３・４で、どれだけ計算ミスを減らせるかが勝負のテスト！

だったんではないでしょうか？

ま～でも…終わった試験のことはそこまで気にしなくていいですよ(笑)

これで今年の受験は終わりって人、１年間ホントにお疲れ様でしたm(_ _)m

後期を受験する予定の人は、それに向けて勉強頑張って！

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！