2025大阪公立大【理系数学】解説・解答・講評
2025大阪公立大学の理系数学の解説・解答・講評をお届けします！
めぐろ塾の安田人員不足のため、一人で孤独にやっております(笑)
全体的に考え方は外してないと思うんですが、確認役がいないため、最終的な値には全く自信がありません(笑)ミスや致命的な間違いを見つけた方は、X（Twitter）のDM等でご指摘頂けますと幸いですm(_ _)m
また、文系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m
第１問
問題
考え方
めぐろ塾の安田問１からそこそこボリュームがあります…
上位校で典型の「絶対値関数の定積分」です。
倍角公式で \(\cos x\) を絶対値の外に出して、絶対値の中身が０になる \(x\) を \(\alpha\) とおく
↓
絶対値を外し、\(\alpha\) を用いて定積分計算
↓
\(\alpha\) を消去
というお決まりの流れを踏みましょう。
問２は、「面積評価」です。めぐろ塾↓
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では、
シグマ計算不可な数列和の評価
↓
長方形の束と面積評価
めぐろ塾の安田ってキーワード化してます。気付けない生徒がホント多いので。でもこの問題は比較的「面積評価」に気づきやすい問題でしょう。
問３は、問２の結果からはさみうちの原理で、\(\infty\) にいっちゃう項の係数を０にするだけですが…
- 問２の結果を、シグマをはさむように整理し直す必要がある
- 不等式が長くなりすぎる
って鬼門があります…僕も計算ミスってたらホントに申し訳ないですm(_ _)m
全体的にカンタンではありませんが、典型処理ばっかりではあるので、完答近くまで行って欲しい問題。
解答
第２問
問題
考え方
めぐろ塾の安田今年のセットでこれが一番キツく感じました。まず、
３点Ａ、Ｂ、Ｃが平面 \(x=1\) 上にある
ことに気づかないと、全体的にお話にならない問題になってます。
問１は、これとＥが三角形ＡＢＣの垂心になっていることに気づけると、解答のように座標平面上の２直線の交点でカンタンに計算可能。
問２は、この系統の問題に慣れていると、
四角形ＰＱＲＳは平行四辺形になりそう
↓
\(\overrightarrow{\textrm{PQ}}=\overrightarrow{\textrm{SR}}\) になるんじゃね？
って疑えますが…かなり類問の経験が必要です。
めぐろ塾の安田僕は問３の時点で、解答では問４に載せてる空間図を描きました。
空間では「立体をなるべくイメージしない」のが鉄則なんですが、
- 問３の面積計算が複雑にならないように、平行四辺形ＰＱＲＳは長方形になってるんじゃないか？
- 問４は、問３の結果から求積しそうだけど、そしたらＰＱＲＳ（平面 \(\alpha\)）は座標軸に垂直な平面でないととんでもない難問になる
からです。そして、これらに気づいても問４で積分変数の変換式の立式が必要…
完答できた受験生は極めて少ないでしょう。問３まで解けてたら大成功な問題です。
解答
第３問
問題
考え方
問１は、問２以降のヒントの設問なので絶対に外さないように。積の形が作られているので、大小をつけられるように素因数２の「拾い上げ」を実行するだけです。
問２は、問１を使って背理法で証明。
めぐろ塾の安田鬼門は問３だと思います。僕も合同式で mod 3 で考えるべきなのか少し迷いました。
結局、
問２より \(d_2≠2\) だから、\(d_2\:,\:d_3\:,\:d_4\:,\:d_5\) は奇数
↓
それらの和や差は偶数なので、与えられた等式右辺の \(2^3\) は消費できる
↓
明らかに \(d_2\) は素数なので、素因数 \(d_2\) の「拾い上げ」
で上手くいきましたが、整数問題の経験がかなり必要でしょう。
問３さえクリアすれば、問４はオマケみたいな問題ですが、等式ばっかりを使っちゃってるので、解答のように \(d_2\:,\:d_3\:,\:d_4\:,\:d_5\) をこの順で実際に約数に持つ \(N\) の存在性は断るべきに思えました。
めぐろ塾の安田ま～でもこの部分で減点されても、答が当たってれば大成功な問題です。
解答
第４問
問題
考え方
問１は、直線ＰＱを立式してヘッセの公式を使うだけ。半角公式でキレイに整理できるので、整理しておいた方が良いでしょう。
問２は、「積和・和積公式」を駆使して証明します。
めぐろ塾の安田この記事↓でメッチャ詳しく解説してるので、苦手な人は読んでおくことをオススメしますm(_ _)m
問３は…
めぐろ塾の安田問１を誘導と受け取って、図形的に考えるべきなんでしょうか？誘導に乗るのもダルいので…
曲線 \(C\) の媒介変数表示と直線ＰＱの方程式から、\(x\) と \(y\) を消去
↓
立式できる \(t\) の方程式が \(0<t<\displaystyle\frac{\pi}{3}\) にただ１つの実数解を持つことを証明
というように、式的に解いてしまいました。問２が上手く使えたんで、多分間違ってないかと。最後の∠ＰＯＲを求めるところは、
媒介変数表示 \(\left\{ \, \begin{aligned} & x=f(t)\cos\theta \\ & y=f(t)\sin\theta\end{aligned} \right.\)
↓
極方程式 \(r=f(t)\) を立式できる
ってのを意識する必要があるので、解けた人は少なそうです。
めぐろ塾の安田因みに解答のように曲線 \(C\) の概形を図示する必要はありません。
\(r=f(t)\) 上の各点 \((r\:,\:t)\) が始線となす角は常に \(t\) ってのを伝えるため、後ソフトで自分の計算ミスがないかを確認するために一応図を掲載しておきました。
全体的に、三角関数の問題。式を良く観察して、使うべき公式を適切にセレクトするのが大事な問題です。問２までできていれば及第点かな～と思います。
解答
講評
昨年は解答速報↓
を行いましたが、これと比べると…
| 解答方式 | 試験時間 | 大問数 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 記述式 | 120分 | ４問 | 変化なし |
めぐろ塾の安田です。去年2024の問３のような圧倒的なサービス問題はありませんでしたが、部分点は拾いやすい構成だったと思います。
第１問をほぼ完答・第２問の問１・第３問の問２まで・第４問の問２まで で合格最低点には余裕で届く！
でしょう。これに「第２問が問３までできた～」とか「第３問ほぼ完答できた～」とかであれば、かなり数学で点数を稼げたと思います。
今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！
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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！
