2025早稲田理工【数学】解答速報

2025早稲田大学理工学部の数学の解答速報をお届けします！

ミスを見つけた方は、X（Twitter）のDM等でご指摘頂けますと幸いですm(_ _)m

［Ⅰ］

問題

考え方

\(z\) の軌跡から \(w=f(z)\) で表された \(w\) の軌跡を求める、めぐろ塾では「複素数の写像」と呼称している頻出問題です。

って授業しているめぐろ塾↓的中！！

\(C\) の軌跡は楕円になるので、(2)では座標平面に帰着させて円との交点を求めるだけ。(3)は円と楕円の面積計算です。楕円の面積計算は、定積分立式後に円の面積計算に帰着させましょう。

\(z\) を極形式でおくことにさえ気づければカンタンな問題。

解答

［Ⅱ］

問題

考え方

解答最初の青の部分では、一応接線のときが最大となるってゆ～のを「予選決勝法」で軽く論証しましたが、多分この部分は採点対象にならないでしょう。

接点の \(x\) 座標をおいて接線を立式、\(x\:,\:y\) 軸との交点（底辺と高さ）求めて三角形の面積を立式したら、微分＋増減表でおしまいです。

何としても答を当てましょう！！

解答

［Ⅲ］

問題

考え方

興味がある人はググってみてください。ほぼこれの一般証明で…2004東工大後期と(2)までは一緒。この解答打ち込んであったんで、それ流用させて頂きました(笑)

(2)さえできれば、(3)はただ漸化式を解くだけなので、数列に長けている人で頭を悩ますことはないでしょう。

でも…(2)って…

全く思考とか関係なく、完全に知識勝負の問題を出してきたのはＯＢとして残念…

(2)以降ムリだった人も、(1)は樹形図かいて終わりなんで、ここは最低限当ててください。

解答

［Ⅳ］

問題

考え方

\(S\) と \(S_1\:,\:S_2\:,\:S_3\) は外接している
↓
接点をおけば、各中心の位置ベクトルは、接点の位置ベクトルを伸ばすだけ
↓
Ｑの位置ベクトルが与えられているので、「共面条件」＝「係数和＝１」

ってだけで、(1)は凄いカンタンです。

作図ダルいし…式でヤル気マンマンで…意気揚々と別解の方でやってたんですが…

ってことで速報当日は、

\(P_1\:,\:P_2\:,\:P_3\) まわりの線分の長さ
１＋２＝３　、　２＋３＝５　、　３＋１＝４　がピタゴラス数
↓
直角があるので、空間座標の座標軸に \(P_1\:,\:P_2\:,\:P_3\) を乗せる

ってして解かせて頂きましたが…

受験生の方が式でやった方の僕の計算ミス見つけてくれましたので、有り難く計算し直したのを別解として載せさせて頂いておりますm(_ _)mなんと、別解の方法で試験中に当てた方もいるようです、日本の受験生の計算力、恐るべし…

何にしても、解けた人はめぐろ塾の安田越えです。おめでとうございますm(_ _)m

解答

［Ⅴ］

問題

考え方

(1)と(2)は解と係数の関係を使ってりゃ終了です。文字多いですけど、冷静に計算してください。

(3)は、「有理数」＝「整数の分数で表せる数」ってのから証明するだけですが…

解と係数の関係の式から有理数と言えない \(k\) を直線の式から消去する

(4)は、(2)さえできてれば与えられた式を代入して計算するだけ。(3)ダメでも(2)できた場合はここは取っておきたい。

(5)は…

背理法で矛盾が出るって感じで証明したかったんですけど、思い浮かびませんでした。あと、\(C\) の接線は必ず他の交点を持つこととかの言及（３重解の場合に対する言及）もした方がいい気もしたんですけど、ま～最後まで解き切るのキツい問題だと思うので、取りあえずはこの解答でいかせて頂きますm(_ _)m

解答

講評

2024の解答速報↓

も行いましたが、それと比べると…

残念なことに、

［Ⅲ］「完全順列」の漸化式の立式法を暗記していたかが勝負を分けてしまうテスト…

でした。［Ⅲ］をほぼ完答している場合、［Ⅰ］・［Ⅱ］をほぼ完答していれば合格最低点はまず間違いないでしょう。［Ⅲ］が(1)しかできなかった場合は、［Ⅰ］・［Ⅱ］のほぼ完答が必須＋［Ⅳ］・［Ⅴ］で部分点をかき集める必要が出てきてしまいます…

でも…

こんな…

「完全順列」が勝負を分けてしまうテストのことなんて忘れていいですよ(笑)

国公立を受ける人も多いでしょう！東大とか東工大とか受かっちゃって、我が母校の早稲田理工は蹴っちゃってください(笑)

君の一番大事な試験はこれからだっ！！

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！