2025東大【理系数学】解答速報

2025年3月4日2025年3月6日

2025東京大学の理系数学の解答速報をお届けします！

めぐろ塾の安田

文系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

第１問

問題

考え方

(1)はメンドくさいけど内分点公式を使いまくるだけです

(2)は、(1)の結果から媒介変数表示の表すグラフの求積。ｘ軸方向に単調なんで、ｙ≧０を確認したら、解答のように図示をせずに求積してしまった方が良いでしょう、

(3)は、

曲線の長さ（媒介変数表示）

媒介変数表示 \(\left\{ \, \begin{aligned} & x=f(t) \\ & y=g(t)\end{aligned} \right.\) で表された曲線の \(\alpha≦t≦\beta\) における長さ \(l\) は、

\[l=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\]

を使うだけ。ルートの中の４次式に２乗を作って、ルートを外す処理も必要になりますが、問題文の「\(a\) の多項式の形で」って文章から気づけるでしょう。

めぐろ塾の安田

全く楽な問題ではありませんが、今年のセットでこれを外すとキツくなっちゃいます…時間をかけてでも完答したい問題。

解答

第２問

問題

考え方

本校受験者で(1)を間違える人はいないでしょう。解答では接線で証明しましたが、「(右辺)－(左辺)≧０」で微分＋増減表で証明しても構いません。

めぐろ塾の安田

問題は(2)…前半の問題なのにかなりムズいです…

はさみうちの原理を使うのは明らかでしょう。でもこの場合で常套の、区間からの不等式作成では、上からの評価も下からの評価も成功しません。僕は、

取りあえず(1)の利用を考えると、一応上からの評価式が作れる
↓
積分計算でそこそこ式が複雑になって、極限計算に困る
↓
微分係数の定義式が出るように作問してくれることを祈る

って感じで上からの評価から行いました。

めぐろ塾の安田

2019の第５問とかでも微分係数の定義式からの計算が出題されていたので。数学は経験が一番大事です！これ見てる高２生とかでたくさん経験を積みたい方はご入塾↓の検討を(笑)

日本全国どこからでも受講可能！
完全個別指導コースあり（オンラインも可）！
初回面談・初回授業は完全個別で無料（オンラインも可）！

めぐろ塾の安田

初回面談は全て私めが個別に対応させて頂きますm(_ _)m
お気軽にお問い合わせください↓

お問い合わせ

03-6841-7626

電話番号からのお問い合わせの場合、授業や面接中で対応できない場合は折り返しご連絡させて頂きますので、留守番電話にご用件を残しておいて頂けると助かります（セールス・勧誘のお電話は固くお断り致します）。

頂いたお問い合わせへのリアクション以外で、こちらからご連絡することは一切ありません。安心してお問い合わせください。

X（Twitter）のDMからのお問い合わせ

上からの評価終わって…下からで３分ほど悩んだ結果…

めぐろ塾の安田

logの中…相加平均じゃん…

って気づいて、下からの評価は相加相乗平均で成功。

上からの評価、下からの評価それぞれに鬼門がある問題です。どちらかの評価には成功して、部分点は拾いたいところ。

解答

第３問

問題

考え方

めぐろ塾の安田

結構題意の長方形を作図するのに時間かかってしまいました…
バカなんですかね？(笑)

作図に成功したら、(1)はひたすらに三角比で面積を計算するだけです。

(1)の結果が \(\sin2\theta\) と \(\cos2\theta\) の同角１次式となるので、(2)では合成して最大・最小を求めるだけですが…

合成角が分からない　かつ　合成角が \(a\:,\:b\) によって動く
↓
sinの中身が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) に届くか届かないかで場合分け

が必要になります。

全体的に計算は複雑ですが、思考的には平坦な問題です。今年のセットで言うと、細部の論証が甘くても答は当てたい問題。

解答

第４問

問題

考え方

平方数を \(m^2\) とおくと、　\(n^2+n-a=m^2\)

ここに(1)で証明したい　\(n≦a\)　⇔　\(n-a≦0\)　を作ることを考えると、　\(m^2-n^2≦0\)　　∴　\(m≦n\)

ってとこから、(1)が \(m\) と \(n\) の大小比較…

めぐろ塾の安田

ってことに気づいて解きました。後は \(a>0\) からこれを言うだけですが、\(m^2<n^2+n<(n+1)^2\) を作る部分とかは、ルートとガウス記号の融合問題とかに慣れてないと解きにくいかも…

そして(2)は…見た目…

めぐろ塾の安田

これ…私めにはムリじゃね？

って思いましたが…

(ⅱ)⇒(ⅰ)はまだいけそう
↓
これを素因数の「拾い上げ」で証明
↓
(ⅰ)⇒(ⅱ)は考えにくいから、背理法で(ⅱ)を否定すると逆方向でいける
↓
\(4a+1\) が合成数として(ⅱ)⇒(ⅰ)の流れで行けばいい

って感じで何とか解けました…１時間くらいかけて(笑)

僕だったら時間内では(2)の(ⅱ)⇒(ⅰ)の証明まで終わらせて、(ⅰ)⇒(ⅱ)の証明はスルーしていたと思います。時間内で完答した人はめぐろ塾の安田越えです、おめでとうございますm(_ _)m

解答

第５問

問題

考え方

めぐろ塾の安田

個人的にトラウマになった問題です(笑)

他予備校の解答速報に手書きで参加していたので、(1)は最初、背理法でこんな解答↓を書かせて頂きました…

ほんで(2)…

めぐろ塾の安田

全然分かんない…

漸化式立式の誘導があり、こ～いった場合のお決まりは「最初または最後に注目」です。それを意識しても規則が複雑すぎて…１時間考えても…

めぐろ塾の安田

全然分かんない…

ってことで時間も足りなかったので有り難く先輩の解答をカンニングさせて頂きましたが…

めぐろ塾の安田

まだ良く分かんない…

会議の時に、１人の先生Ａが、

(1)から左２個の状態考えて、\(4c_{n-1}\)。ほんで問題文に \(c_{n-2}\) も使えってあるから被りに気づきましたね～

って言ってて、この考え方には感銘を受けましたが…

めぐろ塾の安田

まだ細部が良く分かんない…

ってことで、本日、解答速報に参加していた東大のドクターの子がやっていた「１から始まる列の個数を数列で設定する」って方法を使ったら…何とか理解して解答を書けました…それでも30分くらいかけて(笑)

試験当日、完璧に理解して解答を書けた受験生の皆さんを心から尊敬しますm(_ _)m

先生Ａのような考え方で、取りあえずの答が書けたらチョー大成功な問題じゃないでしょうか？

解答

第６問

問題

考え方

(1)は \(w=\displaystyle\frac{1}{z}\) の軌跡を考えるだけ。

(2)は、(1) の結果から \(\alpha=1+ai\:,\:\beta=1+bi\) とおけるので、対称式処理から実数 \(a\:,\:b\) の存在条件に帰着して終わり。

めぐろ塾の安田

ここまでの獲得はマストですが…(3)は結構キツかったです…

\(\gamma=x+yi\) とおくと、\(\textrm{Re}\left(\displaystyle\frac{1}{\gamma}\right)=\displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}=k\) という２変数関数の、\((x\:,\:y)\) が(2)の領域に属さない場合の最大・最小を求めることになります。問題文の「属さない」って表現がわざとらしかったので…

\(\displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}=k\) は円を表す
↓
これが完全に(2)の領域に属する場合を求めて…
↓
その否定をとる

めぐろ塾の安田

って形でやりましたが、誰もこの方法でやってませんでしたね(笑)
凄い誘導に乗ったつもりだったのに、計算量はかなり多くなってしまいました…

僕も２回計算ミスしたため、この解答を書くために使った時間は１時間くらい…

(2)まで当たってれば及第点な問題でしょう。