2025阪大【理系数学】解答速報

2025大阪大学の理系数学の解答速報をお届けします！

１

問題

考え方

(1)は解答のように、

を使ってＯＣ＝１を処理するのが良いでしょう。

素直に、

Ｒが直線ＯＢ上　→　\(\overrightarrow{\textrm{OR}}=k\overrightarrow{\textrm{OB}}\)　とおく
↓
ＡＲ⊥ＯＰで \(k\) を決定

とした方が計算が楽です。

(3)はこれまでの結果から不等式を解くだけ。２次不等式を２回解くだけなんですが、両方とも値が複雑です…計算ミスしたときのために、丁寧な記述を心がけたいところ。

解答

２

問題

考え方

(1)は、

３次関数 \(f(x)\) の極大値と極小値の差
↓
２次関数 \(f'(x)\) に面積公式（１／６公式）を使うと楽

ま～でも、そんなに出題頻度高いネタではないので、愚直に解と係数の関係とかで計算しても大丈夫です、答が当たってれば。

(2)はその結果から、\(p\) と \(m\) をパラメーターとして変曲点を表し、これらを消去して軌跡を導くだけ。

因みに「極値や変曲点系の問題では符号変化を断る」ってルールがあるので、(1)で増減表は省かない方がいい、かつ(2)も解答のように「符号変化」という言葉を入れた方が良いでしょう。

解答

３

問題

考え方

ベクトルで、∠ＯＡＰ＝30°を処理
↓
出てくる等式条件下で、２変数関数 \((x+1)(y+1)\) の最大・最小を求める

というのが流れで、

• 前者で、２乗時に「ルートの相手側≧０」を出すこと
• 後者で、楕円のパラメーター表示を使うこと

楕円のパラメーター表示に気づいても、定義域の端が有名角にならないので計算や考察は楽ではありません。やはり計算ミスしたときのために、丁寧な記述を心がけてください。

解答

４

問題

考え方

(1)は区間から評価を行う典型問題ですが、\(-1≦\sin x≦1\) も使うので、絶対値を使わないとキレイに論証できません。メルカトル級数やライプニッツ級数の経験がそこそこ必要ですが、メルカトル級数は本校の2023の１でも出題されているので、対策していた人が多いでしょう。

(2)は、(1)の結果の利用を考えて、部分積分からはさみうちの原理です。

(3)は、積和公式で書き換えて、片方を置換積分すると \(1≦x≦2\) と \(t≦x≦2t\) で表せ、(2)の結果が使えるという良問でした。

(2)まで解けてれば及第点です。(3)は置換積分まで気づけなくても、最低限積和公式を使って部分点は拾ってください。

解答

５

問題

考え方

私事で申し訳ありませんが…

「ｎ回試行の確率」の＜方針１＞「ｎ回の過程を具体的に考える」、＜方針２＞「確率漸化式」のうち、＜方針２＞で考える問題で、連立漸化式を立式するんですが…

今年2025は一橋・京大理系・東大文系もこの構成…

所詮ＡＢＣの並び方は６通りしかない
↓
でも流石に６個の確率を数列で設定するのはダルい
↓
問題文で \(2k\) になっている
↓
偶数回後しか、ＡＢＣとＢＣＡにならないんじゃね？
↓
実際試すと、偶数回後にＣＡＢの場合も出るから、これを設定して合計３つの数列で

と思考します。

• 立式できる漸化式が凄い単純
• ２つ飛ばしの漸化式（周期数列）の立式のヒントがある

ってことから、今年2025の一橋・京大理系・東大文系よりカンタンです。本校受験者であれば類問の経験はあると思うので、なるべく完答したい問題。

解答

講評

昨年2024の解説記事も作成しましたが↓

これと比べると…

に思えます。

• 去年の５のような難問がない
• 去年の３の「ねじれ」のようなビックリ系の問題がない

ので。オーソドックスな良問ばっかりが並んだ印象です。まず、

１・２のほぼ完答はマスト！

でしょう。合格にはこれプラス３～５での１．５問程度の上積みが欲しいところ。

これで今年の受験は終了って人、本当に一年間お疲れ様でしたm(_ _)m

後期を受ける予定の人は、それに向かって勉強頑張って！！！

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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！