2025上智文系【数学TEAP利用】解説・解答・講評
2025上智大学文系学部のTEAPスコア利用方式の数学の解答速報をお届けします！
経済学部の共通テスト併用方式の数学については↓の記事をご覧ください。
１
問題
考え方
上位校では典型的な、
放物線と、その軸に中心が乗る円の共有点
↓
\(x^2\) を消去すると、\(y\) の２次方程式の問題にできる
というネタの問題で、
基本、解１つに共有点が２つ対応
↓
放物線の頂点と共有点をもつ場合のみ、解１つに共有点が１つ対応
というお決まりを守って、
- (1) → \(y=0\) に１解、\(y>0\) に１解をもつ
- (2) → \(y>0\) に重解をもつ
めぐろ塾の安田と考えるだけです。(2)は \(a\:,\:b\) に加えて \(\alpha\:,\:\beta\) って文字も入ってくるので、結構混乱すると思いますが、解と係数とか使ってれば当たります。
最後の面積も、「円が絡むから中心角が有名角にならないとおかしい」ってことで、計算ミスに気づきやすい問題でしょう。解答では、積分計算の手間を省くため、
台形 － 扇形 － 放物線と \(x\) 軸の作る面積
で計算しています。
そんなにカンタンな問題ではありませんが、計算量は多くないので完答したい問題。
解答
２
問題
考え方
この記事↓
でも強調している通り、上智大学の大好きな「空間」からの出題。
めぐろ塾の安田「三角形」ＡＢＣと平面が共有点をもつってのはあんまり見ない出題なので、解けなかった人も多いのかな～
とは思いますが、非常にストーリーは読みやすい問題です。
(1)で線分ＢＣと \(xy\) 平面の共有点（Ｐ）を考えさせている
↓
(2)では、自分でＣＡ・ＡＢと \(xy\) 平面の共有点（Ｑ・Ｒ）も考える
↓
共有点をもつ \(t\) の範囲は(1)と同様になるので、ＢＣは範囲内で必ず \(xy\) 平面と共有点Ｐをもつ
↓
共有部分は線分ＰＱとＰＲで場合分けされる
と考えるだけで、一切立体図は描かずに完結できます。
計算量は少なくありませんが、考え方的には何の山場もない問題。この問題を完答できていれば、かなり有利になるんではないかと思います。
解答
３
問題
考え方
めぐろ塾の安田例年は最後に出題される小問集合が、今年は変な位置に来ました(笑)
(1)は対数法則を使うだけ。
(2)は、
\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}=1\) が \(\alpha+\beta=\alpha\beta\) であることと…
↓
相加相乗平均の利用に気づく
のが全てです。これで \(A\) と \(B\) の大小が分かり、残りの大小はルート外したいってノリで \(B\) と \(C\) の２乗差作ってれば上手くいきました。
(3)は、
階乗の素因数の個数
\(n!\) の素因数分解における、素因数 \(p\) の個数 \(m\) 、つまり、
\[n!=2^a\cdot3^b\cdot5^c\cdots\cdots p^m\cdots\cdots\]
の \(m\) は、
\[m=\left[\displaystyle\frac{n}{p}\right]+\left[\displaystyle\frac{n}{p^2}\right]+\left[\displaystyle\frac{n}{p^3}\right]+\cdots\cdots\]
ってゆ～公式の導出、「横切りで数える」ってことが分かっている人には用意な問題でしょう。下段の奇数の場合と、２段目を考えれば終了です。
(2)はそこそこ解きづらく感じましたが、Ａ・Ｂ・Ｃのどれか２つの大小さえ分かれば、当てカンで当たる可能性を高められます。全体的に例年の小問集合よりは解きやすかったでしょう。
解答
４
問題
考え方
「取り出した玉を戻さない」→「非復元抽出」の問題。
めぐろ塾の安田１つ質問です。当たりが１本、ハズレが９本の合計10本のくじを元に戻さず順に引いていくとき、自分が５番目に引くと不利に感じますか？
感じないでしょう。５番目に引こうが、当たる確率は１番目に引く人と同じ \(\displaystyle\frac{1}{10}\) です。
つまり…
「非復元抽出」の問題は、引く順を変えても差し支えない
ことになり、これを意識していないと(1)がかなりメンドウなことになってしまいます。
(2)は、１個目でＡが青を、２個目でＢが赤を取り出すだけなのでカンタン。
問題は(3)…最初に僕が打ち込んだ解答↓
自信満々で上智大学の公表してる解答と答合わせしたら…
めぐろ塾の安田違うんか～い！
…でも…どこが？
30分考えても…
めぐろ塾の安田合ってんじゃん…上智大学さん…答間違えてませんか…？？？
さらに１時間考えても…
めぐろ塾の安田ワ・カ・リ・マ・セ・ヌ…
東〇さんなんでまだ解答だしてくれてないのぉおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお～！！！
とヤツ当たりする始末…
めぐろ塾で解いてる僕の横で自習していた高３生が興味をもって問題文を読んで…
先生…「勝負が確定しない」って引き分けが確定する場合を除くんじゃないですか？
っていうキラーパスにより、ダメ解答の分母から引き分け確定の場合を引かなければならないことに気づいた次第ですm(_ _)m
めぐろ塾の安田自分の国語力のなさが恐ろしい…
生徒が講師を超えていく！それがめぐろ塾↓(笑)
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言い訳ではありませんが、全体的にかなり解きにくい問題です。(1)のＢが勝つ確率は根性計算でも当てやすく、(2)はカンタンなので、この２つを当てていれば及第点でしょう。
解答
講評
去年は解答速報↓
を行いましたが…それと比べると…
| 解答方式 | 試験時間 | 大問数 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| マーク式 | 90分 | ４問 | やや易化 |
に思えます。大問数は昨年2024「３問」→「４問」に増えました（戻りました）が、2024の２のような難問はなく、小問集合の難易度も下がったので。また、大問数が多い分、部分的に点数が拾いやすい構成だったでしょう。
大問１・２をほぼ完答していれば安心なテスト！
と言えると思います。大問２が(1)しかダメでも、３の小問集合や４(1)・(2)辺りで挽回できるでしょう。
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君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！
