2025千葉大【理系数学】解説・解答・講評

2025千葉大学の理系数学の解説・解答・講評をお届けします！

千葉大の数学の特殊性

↑でもお話ししているんですが…

千葉大の数学の入試では、
文系数学と理系数学が同じ冊子で配られる！

理系数学では、学部・学科によって解く大問が変わる！

ことになるので、理系の人は解く大問を間違えないように気を付けましょう！

本記事では理系数学を対象とするので、大問４～９の解説・解答・講評となります。

教育学部（中学校コース数学科教育分野）を受験する人は、大問３については文系数学の記事をご覧ください。

４

問題

考え方

めぐろ塾の問題集の問題↓

と酷似した典型問題。

典型内容なので、詳細は省きます。解けない人は…

って認識だけ持って、類問を持ってる問題集で探して演習するか、そ～ゆ～のメンドい人はめぐろ塾↓へのご入塾を検討ください(笑)

(1)はこの系統の問題でお決まり。帰納法を使うだけ。分子が３次になるので、ちょっと示しづらいけど頑張りましょう。

(2)はただ問題のボリュームを増やすだけの設問。差をとって、やっぱり分子が３次になりますが頑張りましょう。

(3)は…めぐろ塾では「漸化不等式」って呼んじゃってるんですが、これを立式してずらすだけ。\(a_n-3\) の評価には、当たり前に(1)を使いましょう。

一般難易度としては難しい問題なんですが、典型なので今年のセットだと完答はマストです。

解説

５

問題

考え方

ランダムウォークの問題ですが、全体的に、\(y\) 方向の「＋１」と「－１」の回数を同じにするってことで、状況は把握しやすいでしょう。

(1)は \(y\) 方向の「＋１」と「－１」を３回ずつ起こすだけ。(2)・(3)は、３回・２回・１回・０回ずつで場合分けです。(3)は \(y_1\:,\:\cdots\:,\:y_5\) がすべて０以上になるものを順列で数えちゃえばいいでしょう。解答のように(2)と逆に考えていくと、結果が流用できるんですが、ま～当たってれば何でもいいです(笑)

すべての場合で「反復試行の確率」として計算するだけですが、計算ミスは起きやすい問題でしょう。考え方はしっかりと記述し、計算ミスしたときに部分点を確保することを意識したい問題。

解説

６

問題

考え方

解答のように、

円 \(C\) の中心Ｂの \(y\) 座標を \(b\) と設定（図を考えれば、\(x\) 座標は \(r\)）
↓
曲線 \(D\) の点Ａにおける法線がこれを通過する条件から、\(b\) を \(a\:,\:r\) で表す
↓
ＡＢ＝\(r\) から、\(a\:,\:r\) の等式を導く

とするのが、思考的には一番カンタンかと思います。鬼門は、最後 \(r\) を \(a\) で表すときに、

下手に展開せず、両辺に２乗を作ってルートをとる

ところで、これに気づかずに解の公式を使うと破綻しちゃうかな～って感じです。

ここさえクリアすれば、(2)は差をとると平方が出来て終了、(3)はただの求積。

解説

７

問題

考え方

(1)～(3)までで凹凸を調べたグラフの図示
↓
(4)で接線の存在問題

という極めて典型的な流れの問題ですが…

と、受験生の皆様の気持ちを代弁して叫ばせて頂きます…

特にテクニックも使えず、ひたすら商の微分、合成関数の微分、積の微分を繰り返すだけですが…メンドくさすぎる…

僕も(2)の最後の因数分解でミスってて、(3)のソフトでの作図中にミスに気づいた次第です…

(2)の微分計算さえクリアすれば、\(y\) 軸対称性（\(f(x)\) は偶関数）から \(x≧0\) に限定して考えるだけですが…

下手に計算確認の時間は取らず、計算ミスってるの覚悟で(4)の接線の存在を接点の \(x\) 座標の存在で考える旨まで記述し、最低限の部分点を拾うのが大事な問題かと思います。

解説

８

問題

考え方

文章長い割に、これは楽でした。

ま～この問題の経験なくても、「ナポレオンの定理」とかを複素数平面で証明したことのある人とかであれば困らない問題でしょう。

(1)で、複素数平面における「回転」から、中心を頂点の複素数で表す
↓
(2)で、その結果を４回使って、４中心を４頂点の複素数で表す
↓
４中心の差の複素数分数式の純虚数条件から証明

します。(2)の複素数分数式の整理では、解答のように、

証明結果から、\(i\) か \(-i\) になるに決まってる
↓
取りあえず分子を \(i\) でくくってしまう

と考えることが大切です。(3)は複素数とベクトルとの対応から、対辺のベクトルの一致を言って「平行四辺形」とします。

カンタンな問題ではありませんが、今年のセットで言うと完答はマストな問題かな～と思います。

解説

９

問題

考え方

恐らく、解答のように、

• (1)・(2)　→　面積評価
• (3)・(4)　→　平均値の定理

で解くのが大学側の想定している解答ではないかな～と思います。色々試しましたが、(2)は面積評価じゃないとムリそうなので。

\(F\) に台形の面積公式の形が登場しているので、「面積評価」に気づきにくい問題ではありませんが…

\(f(x)>0\) が確認できない　→　「面積評価」していいものか悩む

これだと(2)はムリでした…

しょうがないから「面積評価」方向で解答を打ち直しましたが、

• (2)は式的に整理してから「面積評価」を考えると、凄い論証しづらい
• 設問の式の形を信じ、接線の作る台形との「面積評価」で成功するけど、類問の経験ないとムリ

な感じです…

(3)は不等式に変数・関数差と微分が登場しているので、「平均値の定理」を使うことは明らかでしょう。(4)は、(3)の評価前の式に「平均値の定理」を使うって鬼門はありますが、ま～「平均値の定理」に慣れている人であれば対応できるかと。

解説

講評

去年2024の解説記事も作成しましたが↓

これと比べると…

に思えます。例年通りですが…重量級の問題ばっかりで…

典型問題である４と８を完答し、後は部分点をかき集める！

のが大事なテストだったでしょう。

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！