2023北大【文系数学】解説・解答・講評
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2023北海道大学の文系数学の解説・解答・講評をお届けします!
理系数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m
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1
問題
![1問題](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/1問題-11.jpg)
考え方
受験生の皆がキライな…具体的に \(P(x)\) が与えられない…「抽象関数」の問題です。
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北大としては珍しい出題ですね。早稲田商なんかでは頻出なんで、併願して過去問対策していた人が有利です。
(1)や(2)については、
\(x\) にテキト~に値を代入しときゃなんとかなる!
ってゆー、抽象関数の問題に対しての耐性がついていればカンタンです。
(1)は、与恒等式に \(x=0\) を代入するだけ。
(2)は、解答のように因数定理を逆利用し、与条件を、
\(P(x)\) が \(x-1\) で割り切れない
↓
\(P(x)=0\) が \(x=1\) を解に持たない
↓
\(P(1)≠1\)
と認識できれば、与恒等式に \(x=1\) を代入すれば良いことに気づけます。同様にして、示すべき結果も \(P(-1)-1=0\) と認識しましょう。
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(1)・(2)が意味不明だった人も、(3)は解けないとダメ!!
それを証明できてなくても、その結果を用いて後ろの設問は解ける!
そもそも本問では、(3)を解くのに(1)・(2)の結果は必要ありません。「次数が2」って言われているので、
\(P(x)=ax^2+bx+c\)(\(a≠0\) を忘れずに!)とおく
↓
与恒等式に代入して、係数比較
するだけ。(3)の完答はマストです。
解答
![1解答](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/1解答-10.jpg)
![1解答](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/1解答-10.jpg)
2
問題
![2問題](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/2問題-11.jpg)
![2問題](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/2問題-11.jpg)
考え方
(1)は、内角の2等分線定理でAP:PBが出せるので、「一次結合<解法1>」を使うだけでカンタン。\(\left|\overrightarrow{\textrm{OP}}\right|\) の計算は2乗して \(\overrightarrow{a}\:,\:\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の値から計算しましょう。\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) の計算は余弦定理ではなく、AB=7を2乗して計算するクセがついていた方が良いです。
(2)は、最近上位校で流行りの「傍心の1次結合」。
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2019慶應商のⅡ(ⅲ)とかが印象に残ってます。これを授業で扱ってるめぐろ塾↓的中(笑)
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外角の二等分線定理を暗記している人であれば、線分比を求めて「一次結合<解法1>」でも解けますが、僕みたいに暗記してない人も多いでしょう(笑)角の2等分線の方向ベクトル↓
![角の2等分線の方向ベクトル](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/角の2等分線の方向ベクトル.jpg)
![角の2等分線の方向ベクトル](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/角の2等分線の方向ベクトル.jpg)
を用いて、「一次結合<解法2>」で対処すれば済む話です。このとき解答のように、
「方向ベクトル」は方向のみが大事
↓
係数や成分が整数値になるよう、適宜実数倍
するのは受験で常套のテクニック。今回もこれでめっちゃカンタンな連立方程式を作成できます。
因みに外角の2等分線は、
![外角の2等分線の取り方](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/外角の2等分線の取り方.jpg)
![外角の2等分線の取り方](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/外角の2等分線の取り方.jpg)
同じ方向となるので、どっちでとっても大丈夫です。ただ、「傍心の1次結合」の場合は青でとった方がひし形がイメージしやすく、角の2等分線の方向ベクトルが使いやすくなります。
解答
![2解答](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/2解答-5.jpg)
![2解答](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/2解答-5.jpg)
3
問題
![3問題](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/3問題-8.jpg)
![3問題](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/3問題-8.jpg)
考え方
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これは難しすぎるだろ、途中で諦めかけたわ(笑)そしてこれだけで50分使っちゃったから、僕も時間内に解けるかは微妙…
(1)で実験してみると、\(K_2=5\) となる場合多すぎじゃね?って思います。
そして(3)の \(q_n=5\) であり、\(K_n=q_n=5\) となる必要十分条件が \(a_1≦a_2≦a_3≦\:\cdots\cdots≦a_{n-1}≦a_n\) だろうな~、って予測はすぐに立つんですが…
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その証明が難しすぎる。数学的帰納法でやろうにも、\(K_n≧5\) を使おうとしちゃうと失敗するので。
僕は帰納法でやってる最中に、
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これも~ \(K_{n+1}\) と \(K_n\) の差をとっちまった方がいいんじゃね?
ってことに気づいて \(K_n≦K_{n+1}\) 、等号成立が \(a_n≦a_{n+1}\) であることを認識しました。
帰納法で書くと分かりにくいので、解答では、
(1)で36分表を書いて、\(K_2\) の最小値が5であることを確認
↓
次に(3)で一般証明、「帰納的に」って言葉で帰納法のフォーマットを回避
↓
その結果を用いて、(2)
という構成にしてあります。(2)は一般証明を与えた後でないと \(a_1≦a_2≦a_3\) を使えないので。数え上げるのは面倒くさすぎます。
因みに(2)は、解答のように、
重複組み合わせ → 〇と|でモデル化
で計算するのが一番カンタンです。
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数学的にツッコミどころのない解答を作成したけど、時間内にこんな解答書こうとしちゃダメ!
途中点の獲得重視で、
\(q_n=5\) 、\(K_n=q_n=5\) となる必要十分条件が
\(a_1≦a_2≦a_3≦\:\cdots\cdots≦a_{n-1}≦a_n\) という予測を立てる
↓
その予測にもとづき、(1)・(2)の答を当てる
↓
(3)で帰納法で証明する姿勢を見せる
とできれば充分でしょう。しっかりと部分点は拾ってください。
解答
![3解答①](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/3解答①-7.jpg)
![3解答①](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/3解答①-7.jpg)
![3解答②](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/3解答②-4.jpg)
![3解答②](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/3解答②-4.jpg)
4
問題
![4問題](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/4問題-7.jpg)
![4問題](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/4問題-7.jpg)
考え方
2023東大理系数学の第3問でも出題されている、「放物線の軸上に中心が乗る円との共有点の問題」です。
(1)は、解答のように接点をおき、「法線の通過条件」と「中心から接点への距離」を処理して解くのが一番カンタンでしょう。
(2)は、放物線と扇形の作る面積ってだけ。計算も少なめです。
![](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/yasuda2-1.jpg)
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3と比べてカンタンすぎて拍子抜けですね(笑)当然、3より先に解いてください!
解答
![4解答](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/4解答-5.jpg)
![4解答](https://www.megurojyuku.com/wp-content/uploads/4解答-5.jpg)
講評
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2022と比べると…
解答方式 | 試験時間 | 大問数 | 難易度 |
---|---|---|---|
記述式 | 90分 | 4問 | やや難化 |
ですね。3があるから。3のせいで。3がなければ「変化なし」なのに(笑)
ほぼ1・2・4での勝負となったでしょう。
1 → 2 → 4 → 3で部分点を拾う
の順で解けた人は正解。3で完璧な解答を書けた人はほとんどいなかったと思います。
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