2023上智理工【数学TEAP利用】解説・解答・講評

2023上智大学理工学部のTEAPスコア利用方式の数学の解説・解答・講評をお届けします！

共通テスト併用方式の数学については↓の記事をご覧くださいm(_ _)m

１

問題

考え方

(1)は「ユークリッドの互除法」を使うだけ。絶対に外せません。

(2)は「桁数問題」なので、取りあえず↓が大事。

通常の「桁数問題」では、

桁数の定義式の範囲が広すぎるので、$\log_{10}$（常用対数）をとって幅を１に
↓
$\log_{10}2=0.3010$ 等の、常用対数の値を問題文で与える

という形式をとりますが、この問題では常用対数の値が問題文で与えられていないので、自力で10の自然数乗で評価する必要があります。$2\cdot7\cdot11\cdot13=2002>2000$ となるので、$2^{10}=1028$ を活用すれば、下からの評価はカンタンです。

解答書いてる立場なんで上からの評価もちゃんとやっときましたが、これだけで30分くらいかかりました…

上からの評価は試験中には絶対にやっちゃダメです！

(3)は、

成分が数列である点の極限　→　グラフの交点に近づく

ってやらせたいんですかね？そんなの読み取るのもダルいので、普通に連立漸化式を解いてやっちゃいました(笑)

差をとると等比数列が作れる　→　等比処理を実行して、数列消去

ができ、連立漸化式を解くのもカンタンなので。

解答

２

問題

考え方

僕のような人は多いでしょう。そんな僕らでも、平面 $\pi$ が交点を持つのは辺ＤＧか辺ＦＧのどちらかであることは分かります。(2)を「１次結合＜解法２＞」で両方試し、０＜未知数＜１の方を答とすれば良いでしょう。

(3)は、$\overrightarrow{a}\:,\:\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{c}$ の内積が全て０なので、「三角形の面積公式（ベクトル）」で△ＯＭＮと△ＰＮＭに分けて強引に計算。

(4)はキツイです。僕は(2)の結果からＰの位置を判断し、求める体積が三角錐台になることから解きましたが…

でも(4)は解けなくても、(5)は(2)と同様の「１次結合＜解法２＞」でカンタンなので、確実に解答しましょう！(ⅱ)から解いて、(ⅰ)はその結果から求めちゃえばいいと思います。

解答

３

問題

考え方

(1)はただ増減表を作成するだけ。偶関数だから $x≧0$ で考えることを忘れずに！(2)でこの意識が重要になります。

(2)は「水を注ぐ」問題なので…

って思いましたが、(ⅲ)以外はただの典型的な「$y$ 軸回転体の体積」です。

• バーククーヘン型求積法
• 被積分関数を $y$ に変更（解答では出題者の意図を汲んで $a$ でやってます）
• 積分変数を $dx$ に変更

の３つの手法がありますが、

$y=f(x)$ を $x^2$ の２次方程式と見れる
↓
被積分関数を $y=a$ に変更するのが一番カンタン

で、全く同系統の問題を授業で扱うめぐろ塾↓的中！

ま～(ⅰ)がこの誘導になっちゃってはいるんですが(笑)

(ⅲ)は外しちゃっても良いでしょう。水の増加速度を定数 $v$ 、水を注ぎ始めてからの時間を $t$ とおいて、回転体の体積と $vt$ の一致から、(ⅰ)の $S$ を $a$ から $t$ の式に書き換えるだけなんですが、僕も少し解法に迷いました(笑)

(ⅱ)と(ⅳ)を分けて出題してくれてるってことで、断面がドーナッツ型の場合と円の場合で場合分けをしなければならないことに気づきやすい、「$y$ 軸回転体の体積」としては親切設計な問題です。計算ミスを加味しても、最低限(ⅱ)までは当てたいところ。

解答

４

問題

考え方

(1)は、ただ左側・右側の不等式を「大－小≧０」にして、「大－小」を微分して証明するだけ。

(2)は、数学的帰納法で証明します。$n=1$ のときは(1)の不等式となります（勘違いして僕は変なことしちゃってました、指摘してくれた方、ありがとうございます）。$n=m+1$ のときの証明において、

• シグマの区間に細心の注意がいる
• 「大－小」に名前つけすぎちゃって、アルファベットどれにしよう？

とかイライラする問題ではありますが、難易度は高くありません。ここは記述式なので、ミスっても部分点はもらえます。確実に点数を拾ってください。

(3)は、時間内で完璧な解答を作るのは無理でしょう。流れ的には、

(2)の不等式を変形して、真ん中に $\displaystyle\frac{e^x-1}{x}$ を作る
↓
全辺にインテグラルをくっつける
↓
$n=6$ を代入して計算

するだけで典型的なんですが、

• $f(x)$ が $x=0$ で連続であることを証明しなくてはならない
• シグマとインテグラルの順番は交換してオッケー！（2023阪大の理系数学１と同様の処理）であることを知らないとキツイ
• 最後、$n=6$ で両辺計算させるとか正気か？

ってゆー鬼畜仕様(笑)

• 左辺を、分母に素因数３が含まれる部分のみ通分、約分して計算
• 右辺は、左辺からの増加分 $\displaystyle\frac{1}{6\cdot6!}$ のみ計算して、小数で左辺に足す
• 小数第５位以降を、左辺は切り捨て、右辺は切り上げ

とゆー、考え得る限り最も計算量の少なく、ツッコミどころもない解答を作成させて頂きましたが…

それでも電卓使わないで解く気が起きませんでした(笑)

(2)まで解ければ成功、(3)で $n=6$ の代入まで記述できれば大成功と言って良いでしょう。記述式で部分点もらえるってことから、他の大問より優先的に手を付けた方が良い問題です。

解答

講評

大学側から近年の受験者平均や合格者最低点が公表されていませんが、数学の合格者最低点は確実に５割を下回っていると思います。ってか合格者平均も５割周辺なのでは？(笑)

• １(2)の上からの評価はしっかりと諦める
• ２(4)とか３(2)(ⅲ)もしっかりと諦める、でもその後ろの設問は取る
• ４(3)もしっかりと諦める、でも部分点を拾いにいく

のが、今回のテストで高得点をとるためには大事だったと思います。

試験時間90分に対してボリュームが多すぎるので、過去問演習時には「解く問題の取捨選択が正しかったか」を重視するのが良いでしょう。

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！