2024慶應理工【数学】解答速報

2024慶應義塾大学理工学部の数学の解答速報をお届けします！

速報中にミスをご指摘頂いた方に、厚く御礼申し上げますm(_ _)m

１

問題

考え方

(1)の(ア)は問題ないでしょう。解答では、

６番目に小さいものを求める
↓
それで2024を割ることで、６番目に大きいものを求める

というように約数の対称性を利用しましたが、当たってればど～でもいいです(笑)

(イ)については…

\(3^6<2024<4^6\) より、答は３か４のどっちかです。\(3.5^6=\left(\displaystyle\frac{7}{2}\right)^6\) と2024の大小を比較して終了。解答では \(7^2=49<50\) という評価で効率的に計算していますが、根性計算でもいいんでしっかり当ててください。

帰納法を使うことは明らか
↓
\(n=k\) のときの仮定の式を与不等式に代入して同値変形、漸化式の利用

というお決まりで上からの評価はすぐに終わるんですが、下からの評価で \(a_k≧a_1\) と \(a_1≦2\) の両方を使うところの難易度が高いです。ここさえクリアすれば、

\(2-a_n\) のカタマリが大事
↓
解けない漸化式で表された数列の極限
↓
等比型の漸化不等式
\(2-a_{n+1}≦●(2-a_n)\)（ただし、\(0<●<1\)）
を導く
↓
繰り返し利用して、はさみうちの原理

ってゆ～典型処理でいけるんですが、最初の小問集合の後半としてはキツい内容…

(1)を完答、(2)は(ⅰ)の帰納法証明で上からの評価さえ成功してれば及第点だと思います。

解答

２

問題

考え方

(1)は、「タイプⅠのコインを取り出す」または「タイプⅢのコインを取り出して、Ｈが出る」ってだけ。

(2)は、(1)の結果を利用して、「後者／(1)全体の確率」ってするだけ。

(3)も、(1)と(2)の流れを自分でやるだけ。「タイプⅡのコインを取り出してＴが２回出る」＋「タイプⅢのコインを取り出してＴが２回出る」確率で、前者の確率を割りましょう。

(4)は、「２回投げてコインのタイプ分かる」＝「ＨとＴが両方出てタイプⅢって分かる」ってだけ。

(5)は、(4)のノリから余事象を使うのが良いでしょう。「ずっとＨ」＋「ずっとＴ」の確率を１から引いて終わり。

解答

３

問題

考え方

めぐろ塾↓の授業で最も自信がある典型内容の１つ「絶対値関数の定積分」の内容です。

今年のめぐろ塾受験学年…文系ばっかりで誰も慶應理工受けてないけど(笑)

(1)は、めぐろ塾生なら「\(y=f(x)\) と \(y=ax\) が共有点を持たないとき」って一瞬で読み取って瞬殺です。

(2)は、めぐろ塾生は真面目すぎるので微分しちゃいそうで心配です(笑)「\(f(x)\) は微分可能」って言われてないので、微分せずに増加・減少を言わないとダメ。ま～でも微分して減点喰らっても及第点だぞ、凹むな！めぐろ塾生！！

(3)は、交点を持つときに決まってるから、めぐろ塾生なら絶対値の正負で \(t\) を境に場合分けして立式するのは一瞬！後は積分計算するだけだっ！

(4)は、めぐろ塾生なら「平均値の定理」を使うのには一瞬で気づけるはず！

端（本問では \(x\) と \(t_0\)）の大小が決まっていない場合
↓
「（\(x\) と \(t_0\) の）間に存在」って記述する

って授業してるよな！だったら \(x\) と \(t_0\) の大小での場合分けに気づけるはずだっ！完勝！！

(5)は、因数分解して式を簡略化、微分して証明するだけ！理系専用第４章§５のフローチャート通りだなっ！完勝！！！

問題長ぇ～よな、もう(6)は当てカンでいいぞ！何か(3)からのノリで、\(a=\displaystyle\frac{f(●)}{●}\) を書いときゃ良くね？答のみ解答だし。先生ちゃんと証明したけど、マジだるかったよ(笑)(3)の \(q(x)=0\) となる \(x=\sqrt{5}\) を \(●\) に書いとこ！先生は(3)で計算ミスしたせいで外しちゃったけどね！師＝僕を超えていけっ！！

設問が６つもあり、計算も面倒なので、時間内完答は厳しいと思います。部分的に５～６割解答できていれば及第点です。

解答

４

問題

考え方

(1)の最初はこの公式使うだけ。\(\overrightarrow{\textrm{CH}}\) のとこは、

平面のベクトル方程式で、\(\overrightarrow{\textrm{OH}}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}\) と表す
↓
ＣＨ⊥平面ＯＡＢ　を　\(\begin{equation}\begin{cases}\overrightarrow{\textrm{CH}}\cdot\overrightarrow{\textrm{OA}}=0\\\overrightarrow{\textrm{CH}}\cdot\overrightarrow{\textrm{OB}}=0\end{cases} \end{equation}\)　で処理して、\(\alpha\:,\:\beta\) を確定
（平面との垂直は、平面を作る２ベクトルとの垂直で処理）

ってお決まり処理。最後は \(\left|\overrightarrow{\textrm{CH}}\right|\) を２乗して四面体の高さを計算するだけ。

(2)の最初は \(t\) を使って \(\overrightarrow{\textrm{JI}}\:,\:\overrightarrow{\textrm{JK}}\) を \(\overrightarrow{a}\:,\:\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{c}\) で１次結合して、内積を計算するだけ。次はまたこの公式。

(3)は「１次結合＜解法２＞」です。\(t\) 以外に３つの文字を設定しますが、「辺ＤＥと共有点を持つ」と言われているので、直線ＤＥを表すのに用いる未知数（解答での \(m\)）には０以上１以下という条件が付きます。これによって \(t\) の範囲を求めましょう。

全ての設問が典型的内容なので、完答したい問題です。

解答

５

問題

考え方

数学できる人であれば、図を見て、

と思えるでしょう。大学受験での超典型内容である、

• 定円の外側で円を回したときの軌跡　→　エピサイクロイド
• 定円の内側で円を回したときの軌跡　→　ハイポサイクロイド

のうち、後者です。

「複素数」と「ベクトル」は、和・差・実数倍では完全対応することを意識し、

半径比は、回転角の比となる
↓
円の中心を経由して「ベクトル」の和でつなぐとゆ～お決まりを、「複素数」で代用

するだけで(2)まで終了です。めぐろ塾ではエピ・ハイポ共に半径比「１：１」～「１：４」くらいまで４回ずつくらい授業で演習させるんですけどね…受験者の皆さんもそれくらいやってることを祈ります。

(3)は、(2)で媒介変数表示ができていることを意識し、「曲線の長さ」の公式を使うだけ。速さを積分するってだけの公式ですが、その都度導けば良いです。知らなかった人のために、めぐろ塾のプリント載せときます↓(笑)

(4)はそこそこムズいですね。

ｎ番目のサイクロイドに注目して、不等式を作成
↓
はさみうちの原理

です。「絶対値関数の定積分と極限」の問題とかで \(\sin\) のグラフの一山（一谷）分に注目する、ってゆ～経験が十分にないと思いつきづらいと思います。ま～(4)は外しちゃっても良いでしょう。(3)まででできてれば及第点です。

解答

講評

去年2023の解答速報↓

も行いましたが、それと比べると…

解答方式	試験時間	大問数	難易度
答のみ解答、 一部（主に証明）記述式	120分	５問	やや易化

に思えます。１の難易度は今年の方が高いですが、去年の３(3)のように…

って思うような問題はありませんでした。今年で一番難易度が高いのが３ですが、論証部分が微妙でも、テキトーに考えて最後の答は当てられます。この意味でこれは去年の２に近い。

他の大問は去年よりカンタンです。でも120分だと厳しいテストってのは変わらないので、合格最低点とかは去年とさほど変わらないかと思います。

２の確率は異様にカンタンなので、この完答はマスト。４も典型で計算量も多くないので、この完答もマストです。１(1)も取りこぼさないように！

これプラス「５が八割方できた～」だと、合格最低点には確実に届くと思います。ただ５はハイポサイクロイドと複素数平面の融合で目新しいので、ハイポサイクロイドの処理が完璧に習得できてない人には厳しかったでしょう。ここダメでも、「１(2)とか、３である程度点数拾えた」とかで戦えるので、凹まないように！

我が母校の早稲田理工の試験が控えてるぞっ！！

それに向けて勉強頑張ろう！！！

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！