2024京大【理系数学】解答速報

2024京都大学の理系数学の解答速報をお届けします！

１

問題

考え方

2014早稲田理工でも出題されている「立方体の塗り分けの確率」です。

各面を区別して、冷静に確率を計算しましょう。「場合の数」での出題に慣れてしまっているので、底面基準で考える解答を作成させて頂きました。

また、(2)では \(p_n\) を計算してしまいましたが、特に必要ないみたいですね(笑)大手さんの本解答は全てはさみうちで対応していました。ま～でも僕みたいにフツーに計算しちゃっても、１に収束することは明らかなので、最終結果で計算をミスることはないでしょう。

(1)で計算ミスっちゃったりしても、(2)の答は当ててください！

解答

２

問題

考え方

結果論から言えば、解答のように、

不等式条件のある \(x\) が一番複雑
↓
\(z=\displaystyle\frac{x+y}{2}\) を \(|x|≦1\) に代入して、\(x\) を消去
↓
点 \(z\) が点 \(\displaystyle\frac{y}{2}\) を中心とする円内部となることが分かる
↓
中心 \(\displaystyle\frac{y}{2}\) は円を描くので、点 \(z\) の円を転がしてドーナッツ

とすれば、５分程度で解ける問題です。でも…

• 点 \(z\) は２点 \(x\:,\:y\) の中点だから図形的にいきたくなる　→　タイムロス
• も～ \(x\:,\:y\) の成分全部置いちゃう？　→　文字多すぎて破綻

とか、色々なトラップが(笑)あまり見ないタイプの問題で、良問だとは思うんですが、受験でこれを点取り問題として解かされるのはちょっと可哀想な気がしました…

解答

３

問題

考え方

去年2023の２では空間で２直線が交点を持つ、つまり主にねじれの位置にないように調整する問題で、今年はねじれの位置にあるように調整する問題でした。

も～めぐろ塾↓ではイヤというほどやらせる処理。

\(\overrightarrow{\textrm{OA}}=\overrightarrow{a}\:,\:\overrightarrow{\textrm{OB}}=\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{\textrm{OC}}=\overrightarrow{c}\) と、基準となるベクトルを設定
↓
２直線上の点をそれぞれ１文字ずつ（計２文字）使い、ベクトル方程式から \(\overrightarrow{a}\:,\:\overrightarrow{b}\:,\:\overrightarrow{c}\) で表す
↓
基準となるベクトルが１次独立であることを断ってから、係数比較
↓
３等式を満たす２文字が存在

で交点を持つことが言えるので、今回はこれを否定するだけです。

って思ったのは、

２直線がねじれの位置にある　→　「交点を持たない」かつ「平行でない」

の後者の失念です。でも、前者の処理で場合分け発生するから気づきやすいし…最悪これ失念しちゃってもいいですよ(笑) \(x≠y\) という一番重要な式のみは、絶対に当ててください。

解答

４

問題

考え方

少し試行錯誤がいる問題です。僕も最初は、

って思って、\(a_0=1\:,\:3\:,\:5\:,\:\cdots\) って試して(1)をやりました。でも…計算をミスるミスる…

そして規則も見えなかった、かつ(2)は抽象値 \(n\) についての問題じゃないから帰納法じゃないな、と思って軌道修正。

ほとんど下の漸化式しか使わない、かつこの漸化式カンタンに解ける
↓
漸化式を逆に解いて、\(a_0\) を \(a_{10}\) で表す
↓
\(a_0\) が \(a_{10}\) の分数式になるので、\(a_0\) が奇数になるように \(a_{10}\) を調整

としました。でも上の漸化式を使わない、って結論を出すのにはちょっと勇気がいりますね…かつ \(a_1\) ～ \(a_9\) が奇数になっていることも確認（十分性の確認）しなきゃいけないので、結構大変な問題です。

論証とか甘くても、そして \(a_1\) ～ \(a_9\) の確認計算を端折っちゃっても、答が当たってれば大成功な問題だと思います。

解答

５

問題

考え方

カテナリー曲線関連の面積計算。増減調べて、領域を把握しましょう。解答では増減表まで書きましたが、増加と \(\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}<\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}{2}\) という上下関係さえ記述しておけば大丈夫です。図の形的に \(y\) 軸積分を考えてしまった人もいると思いますが、カテナリーの逆関数の積分は厳しいので、結局 \(x\) 軸積分です。ここら辺は共有点計算の段階で気づいてください。

(2)の極限は結構ムズイです。結果論から言えば、解答のように、

最初に計算しやすい \(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1}\) の極限を計算し、これをおく
↓
公式　\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x}=1\)　の使用を意識し、\(\log\) の中の分数に (分子)÷(分母) で１を作る
↓
残りにおいたのが登場してハッピー

なんですが、最初に \(\log\) 部の極限計算から取り組むと、これに気づきにくくなってしまいます。僕も \(\log\) の中の有理化とかしちゃってタイムロスしました。試験時間内だと損切りしてもいい設問かもしれません。(1)が解けてれば及第点です。

解答

６

問題

考え方

ガウス記号とはさみうちの原理に慣れている人であれば、サービス問題です。

桁数の定義式等を立式、常用対数をとって、\(k\) の個数をガウスで表す
↓
\(x-1<[x]≦x\) からガウスを外して、はさみうちの原理

解法に迷うところがありません。因みにめぐろ塾では、桁数の定義式なんて覚えさせず、本問であれば…

ってように導かせるんですが、本校受験者には釈迦に説法でしょう。

ガウス記号の中がそこそこ複雑になるんで、解答では \(x\:,\:y\:,\:z\) で書き換えて変形しています。ま～ガウスで上手く論証しなくても、

でも答は当たります。是非とも答は当てて欲しい問題。

解説

講評

去年2023の解答速報↓

も行いましたが、それと比べると…

に思えます。去年2023の６レベルの難問は、今年2024ではありませんでした。しかし、去年は１～４全てがサービス問題だったのに対し、今年はサービス問題的な問題がほとんどなく、

計算ミスの勝負になってしまった2023
↓
数学力がダイレクトに点数に現れる2024

と変化した感じです。

最低限答を当ててないといけないのは、１(2)と３と５(1)です。合格最低点に届かせるためには、部分点も含めて、ここに大問１～２個程度の上積みが欲しいところ。

ま～でも終わった試験のことをそこまで気にするのは止めましょう(笑)

これで今年の受験終わりって人、本当に１年間お疲れ様でした！

後期試験控えている人は、気を緩めずに頑張って！めぐろ塾で解答速報を書きながら応援しています！大丈夫、君は一人じゃない(笑)

今回の記事に関しての質問や、ミスを見つけた場合のクレーム(笑)めぐろ塾へのお問い合わせはこちら↓からお気軽にどうぞ！

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！