cos36°は良い子（４・１・５）

こーゆー小手先のテクニックは好きではありませんが…

結論：cos36°は良い子（４・１・５）

前回の記事の内容から、cos36°＝…

赤の直角三角形に注目すれば、「〇」＝ \(\cos36^\circ\) であることが分かります。

また、\(l\) は線分マーク「〇」の２つ分なので、

\[\cos36^\circ=\displaystyle\frac{l}{2}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}\]

何で「良い子（４・１・５）」って覚えるの？

大学受験数学でのマーク式の解答方法の多くは、０～９の数字のマークです。

ですぐに埋められちゃうんですよ…

因みに、２倍角の公式 \(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\) や、単位円から当たり前に導かれる

• 余角公式 \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\)
• 補角公式 \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\:,\:\:\)\(\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\)

も利用すると、0°から180°までの三角比では、

\[\cos36^\circ=\sin54^\circ=\sin126^\circ=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}\:,\]

\[\cos72^\circ=\sin18^\circ=\sin162^\circ=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\:,\]

\[\cos108^\circ=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{4}\:,\]

\[\cos144^\circ=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{4}\]

も似たような形になるので、０～９の数字のマークであれば、これらも何も考えずに「良い子（４・１・５）」で答を当てられてしまいます。

黄金比も覚えやすくなる！

って思った人もいるでしょう。

でもバカにするなかれ。

前回の記事で、正五角形の一辺と対角線の長さの比（黄金比）は値を暗記しておくのがオススメと言いましたが…

「cos36°は良い子（４・１・５）」を覚えておくと、黄金比が圧倒的に覚えやすくなるんですよね。

ちょっとでも冒頭の対応を思い出せれば、「良い子（４・１・５）」の２倍で、

って埋められちゃうでしょ？

ルートの中の候補として５以外に２も入るので、「cos36°は良い子（４・１・５）」ほど強力な語呂合わせではありません。

医学部受験での活用例

近年の医学部受験で言うと、「もし出題された場合、知らなかったらそもそも勝負にならない」って感じなんですよね。

いくつか具体例を。

2014東邦大医学部

90分で15問。その中の１問として出題された問題です。

問題

解説

マーク式で「正五角形」なので、「cos36°は良い子（４・１・５）」って唱えると共に「にいこ（２・１・５）」を疑いましょう。

だから、「良い子（４・１・５）」。

前回の記事の『円に内接するｎ角形』で説明した内容から、下図を作図します。

この図の直角三角形に注目することで、

\(r=R\cos\displaystyle\frac{\pi}{5}\)　　∴　\(\displaystyle\frac{r}{R}=\cos\frac{\pi}{5}=\cos36^\circ\)

なので、「良い子（４・１・５）」に間違いありません。

実際に作図する二等辺三角形は１つで十分です。

ってゆーか、できる人は外接円すら描きません。

講評

この頃の東邦大医学部は、プロでも

って鬼畜仕様(笑)

90分15問で、一問あたり６分しか使えないんですが、かなり難易度高い・計算面倒な問題も含まれてまして…

「満点は諦めて最低10問当てる、そこから何問上積みできるか」の勝負でした。

この2014年度は、偏差値73の生徒と時間内で勝負したんで凄い覚えてるんですが…

でも安心してください！

2017以降の東邦大医学部は、試験時間90分は変わらず、問題数は10問に減少しています！

ま～その分合格点は上がってると思うので、喜んではいられませんが。

逆に「数学で差がつきにくくなった」とも言えるので、数学できる人からすると悲報です。

2016・2021順天堂大医学部

2016大問Ⅱ前半

掲載してるのは大問Ⅱの文章全体の１／３くらいです。

2021大問Ⅱ(a)

(b)と(c)もあるので、やはり全体の１／３くらいです。

因みにその後は、

1. 冒頭の対応からcos∠BAC＝「cos36°は良い子（４・１・５）」を出し、\(\sin^2∠\textrm{BAC}=1-\cos^2∠\textrm{BAC}\)
2. △ABCに正弦定理 \(\displaystyle\frac{\textrm{BC}}{\sin∠\textrm{BAC}}=2r\) で \(r^2\) を出す
3. 前回の記事の『円に内接するｎ角形』の内容から正五角形を二等辺三角形５つに分割し、\(S=\displaystyle\frac{1}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{5}\times5\) で計算

で穴埋めていきます。

順天堂大医学部の数学について

試験時間70分。大問構成は2003から以下の通りで、2022現在も変わっていません。

大問	形式
Ⅰ	マーク式小問集合。 2015以降は３～４題。設問ごとの難易度差が激しい。簡単な問題は本当に簡単だが、国立大問レベルがネタにされることもあり。
Ⅱ	マーク式大問
Ⅲ	記述式大問

今回挙げた2016周辺は難易度がやばかったんですよね…

2018以降は大分まともに点数とれる感じに戻りましたが、それでも満点は望んじゃいけないレベルです。

順天堂大医学部の数学では、

って解く順番を決めといてしまった方がいいように思えます。

今回の記事のテクニックは、STEP３での点数上積みのための必須テクニックです。

知らなかったら、順天では勝負にすらなりません。

おいおい、正二十面体って…

2016の最初の「正二十面体の体積を求めよう。」って文章でメンタル折られた受験生も多いと思います(笑)

長いので問題文を最後まで掲載しませんでしたが、「立体は断面を抜き出して考える」ってゆー本質に従った誘導は付いてるものの計算量も多く、途中当てカンで当てられる部分があるにせよ、完答できた受験生はほとんどいなかったものと思われます。

実は今回挙げた2021の順天の大問Ⅱも、最終的に(c)で正二十面体を考えさせています。

医学部受験業界では、2016の正二十面体の出題はそこそこ話題になりましたが、2021の正二十面体はあまり話題になりませんでした。

確かに2021の方が計算量が少ない、誘導が親切ってゆーのもあるんですが、それ以上に…

なので、順天堂大医学部の受験者は、正五角形の頂点の１つをA、外接円の中心をO、この正五角形を底面とする正五角錐の頂点をFとすると、

という、正二十面体の外接球の中心O’の作図を暗記しておくべきに思えます。

2022東北医科薬科大医学部

軽く近年の医学部の過去問をほぼ全て流し見した感じでは、2018～2020で今回の記事のテクニックが有効な問題は出題されていませんでした。

試験時間70分で、マーク式大問３つ。その中の大問の１つでした（第Ⅱ問、これは全文掲載します）。

(1)　序文をちょっと読めば、一周 \(2\pi=\theta+2\theta+3\theta+4\theta=10\theta\) で \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{5}=36^\circ\) が分かります。

(3)　「cos36°は良い子（４・１・５）」を発動して終了～

(2)　\(z\) は \(-1\) の５乗根だから、\(z^5=-1\) 。因数分解して \(z\neq-1\) から \(z^4-z^3+z^2-z+1=0\)（相反型４次方程式）。\(z\neq0\) より両辺を \(z^2\) で割って、\(z^2+\displaystyle\frac{1}{z^2}=w^2-2\) から、\(w^2-w-1=0\) 。因みに厳密には(3)は、これに解の公式を用い、\(w=z+\displaystyle\frac{1}{z}\)\(=(\cos\theta+i\sin\theta)+\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}\)\(=2\cos\theta\) から計算します。

(4)　余弦定理で \(L^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos2\theta\)\(=2-2(2\cos^2\theta-1)\)\(=\displaystyle\frac{5-\sqrt{5}}{2}\)

(5)　\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\sin3\theta\) から、\(S^2=\displaystyle\frac{1}{4}\sin^2 3\theta\)\(=\displaystyle\frac{1-\cos^2 3\theta}{4}\)\(=\displaystyle\frac{5+\sqrt{5}}{32}\)

優秀な医学部受験生なら、僕より速く、完璧に当ててくると思います。

まとめ

マーク式で \(\displaystyle\frac{\pi}{5}=36^\circ\) や \(\displaystyle\frac{\pi}{10}=18^\circ\) 系の \(\sin\:,\:\cos\) に出会ったら、取りあえず

って唱えて、正五角形の場合は、これを唱えると共に、

って疑うこと。

短くするつもりが今回も長くなっちゃった(笑)

君の大学受験が最高の結果になることを祈ってます！